Решим каждую из задач по порядку.

Даны отрезки $N{N}_1=13\text{см}$ и $M{M}_1=15\text{см}$. Поскольку отрезки $MN$ и $M_1{N}_1$ являются параллельными прямыми и $K$ — середина отрезка $MN$, длина $K{K}_1$ можно рассчитать как среднее арифметическое длин $N{N}_1$ и $M{M}_1$:

$$K{K}_1=\frac{N{N}_1+M{M}_1}{2}=\frac{13+15}{2}=\frac{28}{2}=14\text{см}.$$

Ответ: 14 см.

Дано $MN=10\text{см}$ и отношение $AM:MB=2:3$. Сначала найдем длину отрезка $AB$:

$$AB=AM+MB=AM+\frac{3}{2}\cdot AM=AM\left(1+\frac{3}{2}\right)=AM\cdot \frac{5}{2}.$$

Пусть $AM=2x$, тогда $MB=3x$ и $AB=5x$.

Поскольку плоскость $a$ делит стороны, по свойству подобных треугольников мы имеем:

$$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{5}.$$

Решая это уравнение для $BC$:

$$BC=MN\cdot \frac{5}{2}=10\cdot \frac{5}{2}=25\text{см}.$$

Ответ: 25 см.

Пусть точка $P$ находится на расстоянии $h=\sqrt{5}\text{см}$ от плоскости, а расстояние до каждой из вершин равно $3\text{см}$. Обозначим длины сторон прямоугольника через $a$ и $b$.

Согласно теореме, высота до вершины прямоугольника можно вычислить следующим образом:

$$d^2=h^2+r^2,$$

где $d$ — диагональ прямоугольника, а $r$ — расстояние от точки до вершины.

Найдем диагональ:

$$d^2=(\sqrt{5}{)}^2+(3{)}^2=5+9=14,$$ $$d=\sqrt{14}\text{см}.$$

Ответ: $\sqrt{14}\text{см}$.

Дано расстояние от вершин $A$, $B$, $C$ до плоскости: $h_A=14\text{см}$, $h_B=11\text{см}$, $h_C=4\text{см}$. Для параллелограмма, среднее значение расстояний от всех вершин до плоскости равно расстоянию от 4-й вершины $D$:

$$\frac{h_A+h_B+h_C+h_D}{4}=H,$$

где $H$ — постоянная, равная расстоянию до плоскости. Выражаем $h_D$:

$$h_D=4H-(h_A+h_B+h_C).$$

Сначала найдем среднее расстояние от плоскости:

$$H=\frac{h_A+h_B+h_C}{3}=\frac{14+11+4}{3}=\frac{29}{3}.$$

Теперь подставляем:

$$h_D=4\cdot \frac{29}{3}-(14+11+4)=\frac{116}{3}-29=\frac{116-87}{3}=\frac{29}{3}=9.67\text{см}.$$

Ответ: 9.67 см.

Проверяйте каждое решение на правильность, и если у вас есть дополнительные вопросы или уточнения, дайте знать!