Чтобы понять, при каком минимальном значении S Ваня может выиграть своим первым ходом после неудачного первого хода Пети, давайте проведем анализ игры.

Первый игрок $Петя$ начинает с куч, где в первой куче 9 камней, а во второй куче S камней. Игроки могут делать следующие ходы:

Побеждает тот, кто первым доведет суммарное количество камней до 83 или больше. Это значит, что для Пети важен первый ход, а для Вани — возможность выиграть на следующем ходу.

Суммарное количество камней в начале игры:
$$9+S$$

Петя должен сделать ход, который не приведет к победе, а затем Ваня должен будет провести ход, которого хватит, чтобы довести общую сумму до 83 или больше.

Рассмотрим возможные ходы Пети:

Теперь после хода Пети, Ваня должен сделать ход так, чтобы мы вышли на 83 или больше:

Если учитывать возможность Вани победить своим первым ходом, наиболее перспективным будет простой расчет.

Допустим, что после первого хода Пети, Ваня должен не проиграть - это значит, что после изменений С, игроки могут превысить 83.

С таким анализом:

Рассмотрим:
$$S+9+1=82$$ $$S+10=82$$ $$S=72$$

Наша минимальная возможная игра:

При $S=72$:
Первый ход Пети добавляет 1 к любой куче:
Состояние: 10 и 72, Ваня может удвоить либо добавить и доводит до 83.

Таким образом, минимальное значение $S$, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом после первого неудачного хода Пети, будет равным $72$.

Helper

Чтобы понять, при каком минимальном значении S Ваня может выиграть своим первым ходом после неудачного первого хода Пети, давайте проведем анализ игры.

Первый игрок $Петя$ начинает с куч, где в первой куче 9 камней, а во второй куче S камней. Игроки могут делать следующие ходы:

Добавить 1 камень в любую из куч.Удвоить количество камней в любой из куч.

Побеждает тот, кто первым доведет суммарное количество камней до 83 или больше. Это значит, что для Пети важен первый ход, а для Вани — возможность выиграть на следующем ходу.

Суммарное количество камней в начале игры:

$$9+S$$

Петя должен сделать ход, который не приведет к победе, а затем Ваня должен будет провести ход, которого хватит, чтобы довести общую сумму до 83 или больше.

Рассмотрим возможные ходы Пети:

Если Петя добавляет 1 камень в первую кучу:

Количество становится $10+S$.Если Петя добавляет 1 камень во вторую кучу:

Количество становится $9+S+1=10+S$.Если Петя удваивает первую кучу:

Количество стаёт $2\times 9+S=18+S$.Если Петя удваивает вторую кучу:

Количество становится $9+2\times S$.

Теперь после хода Пети, Ваня должен сделать ход так, чтобы мы вышли на 83 или больше:

Если Петя ходил так, что $N=10+S$: Ваня может добавить камень и сделать $10+S+1=11+S$ — Печально!Если $N=18+S$: Ваня может добавить камень в одну из куч, чтобы достигнуть $19+S$.Если $N=10+S$, и Ваня удваивает S до $20+S$. Не подходит.

Если учитывать возможность Вани победить своим первым ходом, наиболее перспективным будет простой расчет.

Допустим, что после первого хода Пети, Ваня должен не проиграть - это значит, что после изменений С, игроки могут превысить 83.

С таким анализом:

Выбираем значение S, которое сделает хитроумное множество, после всех ходов Вани и Пети, обеспечить 82, где Ваня доведе до 83.Мы найдём такое S, чтобы S + 9 + 1 = 82

Рассмотрим:

$$S+9+1=82$$

$$S+10=82$$

$$S=72$$

Наша минимальная возможная игра:

При $S=72$:

Первый ход Пети добавляет 1 к любой куче:

Состояние: 10 и 72, Ваня может удвоить либо добавить и доводит до 83.

Таким образом, минимальное значение $S$, при котором Ваня может выиграть своим первым ходом после первого неудачного хода Пети, будет равным $72$.