Давайте обозначим сумму кредита как $P$, а сумму выплат в каждом месяце — как $X$.

Формула роста долга: Каждый месяц за счет процентов долг увеличивается на 3%. Если $D_n$ — долг на 15 число $n$-го месяца, то:

$$D<em>n=D</em>n-1\cdot 1.03-X$$

где $D_{n-1}$ — это долг на 15 число предыдущего месяца.

Условия задачи: Согласно условиям задачи, общий объем выплат за 11 месяцев составит 590,000 рублей:

$$11X=590,000⟹X=\frac{590,000}{11}=53,636.36$$

Итак, размер выплат в каждом месяце составляет 53,636.36 рублей.

Расчет долга: Теперь нам нужно выяснить, какой долг должен быть в начале, чтобы после роста и выплат на 15 число каждого месяца его осталось погасить.

Поскольку на 15 число каждого месяца должен быть долг на фиксированную сумму меньше, будем обозначать это на 15 число $n$-го месяца как $D_{n-1}-K$, где $K$ — это фиксированная сумма уменьшения долга.

Долг на 15 число первого месяца $D_0=P$.

На 15 число первого месяца:
$$D_1=1.03P-X$$

На 15 число второго месяца:
$$D_2=1.03D_1-X=1.03(1.03P-X)-X=1.03^{2}P-1.03X-X=1.03^{2}P-(1.03+1)X$$

На 15 число третьего месяца и так далее. Тем самым, обобщая:
$$D_n=1.03^{n}P-(1.03^{n-1}+1.03^{n-2}+\dots +1)X$$

Сумма геометрической прогрессии:
Сумма членов прогрессии от 1 до $n-1$:
$$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}=\frac{X(1-1.03^n)}{1-1.03}$$

Для 11 месяцев $n=11$:
$$S=\frac{X(1-1.03^{11})}{-0.03}=\frac{X(1.03^{11}-1)}{0.03}$$

Подставим в формулу:

Подставим выражение суммы в $D<em>11=1.03^{11}P-S$:
$$D</em>11=1.03^{11}P-\frac{X(1.03^{11}-1)}{0.03}$$

Условия задачи требуют, чтобы на 15 число последнего месяца долгов не осталось, т.е. $D_{11}=0$:
$$1.03^{11}P=\frac{X(1.03^{11}-1)}{0.03}$$

Следовательно:
$$P=\frac{X(1.03^{11}-1)}{0.03\cdot 1.03^{11}}$$

Вычисление: Подставим полученные значения:
$$P=\frac{53,636.36(1.03^{11}-1)}{0.03\cdot 1.03^{11}}$$

Приблизительное значение $1.03^{11}\approx 1.349353$:
$$P=\frac{53,636.36\cdot (1.349353-1)}{0.03\cdot 1.349353}$$

$$P\approx \frac{53,636.36\cdot 0.349353}{0.04048159}$$ $$P\approx \frac{18,740.7401}{0.04048159}\approx 463,000$$

Следовательно, сумма кредита, которую следует взять в банк, составляет примерно 463,000 рублей.