Чтобы найти область определения функций, нужно определить, для каких значений ( x ) функция не определена (обычно это затруднение связано с делением на ноль).

а) Рассмотрим функцию ( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} ).

Функция не определена, когда знаменатель равен нулю:

[
x^2 - 1 = 0
]

Решим это уравнение:

[
x^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1
]

Таким образом, функция не определена в точках ( x = 1 ) и ( x = -1 ).

Область определения функции ( f(x) ):

[
D_f = \mathbb{R} \setminus {-1, 1}
]

б) Рассмотрим функцию ( f(x) = \frac{x}{x - 2} ).

Функция не определена, когда знаменатель равен нулю:

[
x - 2 = 0
]

Решим это уравнение:

[
x = 2
]

Таким образом, функция не определена в точке ( x = 2 ).

Область определения функции ( f(x) ):

[
D_f = \mathbb{R} \setminus {2}
]

Итак, результаты:

а) ( D_f = \mathbb{R} \setminus {-1, 1} )

б) ( D_f = \mathbb{R} \setminus {2} )