Теперь найдем соответствующие значения (y) в этих точках. Подставляя (x = 0) в уравнение (y = x):
[ y = 0 ]
При (x = 4):
[ y = 4 ]
Таким образом, точки пересечения — это ((0, 0)) и ((4, 4)).
Теперь найдем площадь между графиками. Площадь можно найти с помощью интегралов. Площадь (A) между кривыми на интервале от (x = 0) до (x = 4) вычисляется по формуле:
[ A = \int_{0}^{4} (f(x) - g(x)) \, dx ]
где (f(x)) — верхняя функция, а (g(x)) — нижняя функция. В данном случае, график (y = -x^2 + 5x) находится выше (y = x) на интервале от (0) до (4).
Чтобы найти площадь, ограниченную кривыми (y = -x^2 + 5x) и (y = x), сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем правые части уравнений:
[
-x^2 + 5x = x
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
-x^2 + 5x - x = 0
]
[
-x^2 + 4x = 0
]
[
-x(x - 4) = 0
]
Решая это уравнение, получаем:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4
]
Теперь найдем соответствующие значения (y) в этих точках. Подставляя (x = 0) в уравнение (y = x):
[
y = 0
]
При (x = 4):
[
y = 4
]
Таким образом, точки пересечения — это ((0, 0)) и ((4, 4)).
Теперь найдем площадь между графиками. Площадь можно найти с помощью интегралов. Площадь (A) между кривыми на интервале от (x = 0) до (x = 4) вычисляется по формуле:
[
A = \int_{0}^{4} (f(x) - g(x)) \, dx
]
где (f(x)) — верхняя функция, а (g(x)) — нижняя функция. В данном случае, график (y = -x^2 + 5x) находится выше (y = x) на интервале от (0) до (4).
Теперь вычислим площадь:
[
A = \int{0}^{4} \left((-x^2 + 5x) - x\right) \, dx
]
[
= \int{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx
]
Теперь вычислим интеграл:
[
A = \int{0}^{4} (-x^2 + 4x) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2\right]{0}^{4}
]
Находим первообразные:
При (x = 4):
[
-\frac{4^3}{3} + 2(4^2) = -\frac{64}{3} + 2 \cdot 16 = -\frac{64}{3} + \frac{32}{1} = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{32}{3}
]
При (x = 0):
[
-\frac{0^3}{3} + 2(0^2) = 0
]
Теперь находим площадь:
[
A = \frac{32}{3} - 0 = \frac{32}{3}
]
Следовательно, площадь, ограниченная линиями (y = -x^2 + 5x) и (y = x), равна (\frac{32}{3}) квадратных единиц.