Ниже — разбор проблем в исходном фрагменте, исправленный вариант и оценка сложности.

Исходный код:
def kth_smallest$arr,k$:
pivot = arr$$0$$ left = [x for x in arr if x < pivot]
right = [x for x in arr if x > pivot]
if k <= len$left$:
return kth_smallest$left,k$ elif k == len$left$ + 1:
return pivot
else:
return kth_smallest$right,k-len(left)-1$

Основные логические ошибки и ситуации, приводящие к неправильному поведению или падению

Дубликаты равные pivot теряются. Компрехеншены left и right исключают элементы == pivot $кромесамогоpivot$, поэтому элементы, равные pivot, никуда не попадают. Пример: arr = $$2,2,2$$, k = 2 — функция рекурсивно вызовет себя на пустом right и упадёт или зациклится.Неправильная обработка случаев, когда k попадает в диапазон равных pivot $еслиихбольшеодного$. Код считает только один pivot, поэтому для k внутри блока равных вернёт неверный ответ.Нет проверки границ k (k < 1 или k > len(arr)) — возможны неверные вызовы или бесконечная рекурсия.Нет явного базового случая для пустого массива — вызов на пустом списке приведёт к arr$$0$$ и падению.Выбор pivot = arr$$0$$ делает алгоритм чувствительным к порядку входа $например,ужеотсортированныймассивдастхудшуюпроизводительностьO(n^2)$. Для среднего времени лучше выбирать случайный pivot или применять медиану из трёх.

Исправленный простой вариант $разделениенатричасти—меньше/равно/больше,случайныйpivot$:
import random

def kth_smallest$arr,k$:
if not 1 <= k <= len$arr$:
raise IndexError("k is out of bounds")
if len$arr$ == 1:
return arr$$0$$ pivot = random.choice$arr$ lows = [x for x in arr if x < pivot]
pivots = $$xforxinarrifx==pivot$$ highs = [x for x in arr if x > pivot]

if k <= len$lows$:
return kth_smallest$lows,k$ elif k <= len$lows$ + len$pivots$:
return pivot
else:
return kth_smallest$highs,k-len(lows)-len(pivots)$

Почему это исправляет ошибки

Все элементы распределяются в три группы: <pivot, ==pivot, >pivot — ничего не теряется.Если k попадает в диапазон группы равных — возвращаем pivot.Проверяем границы k и добавлен базовый случай len$arr$ == 1.Случайный pivot даёт ожидаемое линейное среднее время и предотвращает злостные паттерны входа.

Альтернатива для экономии памяти: in-place quickselect $Lomuto/Hoa­­re$. Она использует обмены в массиве и работает с индексами $O(1)дополнительнойпамяти,рекурсивнаяглубина—O(logn)всреднем$. Вот простой in-place $Lomuto$ вариант:

import random

def partition$a,lo,hi$:
pivot = a$$hi$$ i = lo
for j in range$lo,hi$:
if a$$j$$ < pivot:
a$$i$$, a$$j$$ = a$$j$$, a$$i$$ i += 1
a$$i$$, a$$hi$$ = a$$hi$$, a$$i$$ return i

def quickselect_inplace$a,k$:
if not 1 <= k <= len$a$:
raise IndexError("k is out of bounds")
lo, hi = 0, len$a$ - 1
k_index = k - 1
while lo <= hi:

случайный выбор опорного элемента pivot_index = random.randint$lo,hi$ a$$pivo{t}_{i}ndex$$, a$$hi$$ = a$$hi$$, a$$pivo{t}_{i}ndex$$ p = partition$a,lo,hi$ if p == k_index:
return a$$p$$ elif p > k_index:
hi = p - 1
else:
lo = p + 1
raise RuntimeError$"unreachable"$

Оценка сложности
1) Исправленная версия с созданием новых списков $первыйвариант$:

Среднее $ожидаемое$ время: O$n$ — при случайном выборе pivot ожидается линейная сложность.Худшее время: O$n^2$ — если pivot постоянно очень плох $например,всегдаэкстремальныйэлемент$.Доп. память $пиковая$: в среднем O$n$ $присбалансированныхразделенияхсуммарныеразмерысписковпоуровнямрекурсииограниченыO(n)$, но в худшем случае $сильнонеудачныеразбиения,рекурсияглубинойO(n)$ — O$n^2$ из‑за накопления копий списков на стеке вызовов.

2) In-place quickselect:

Среднее время: O$n$Худшее время: O$n^2$ $зависитотвыбораpivot;можноуменьшитьвероятностьплохогослучаярандомизациейилимедианойизтрёх$Доп. память: O$1$ дополнительной памяти $изменяетсямассивнаместе$ плюс стек вызовов — O$logn$ в среднем, O$n$ в худшем случае $можнопереписатьитеративно,тогдастекO(1)$.

Рекомендации

Если важна простота и читабельность — использовать первый исправленный вариант с разделением на три списка и random.choice.Если важна экономия памяти и производительность в худших практических случаях — использовать in-place quickselect с рандомизированным опорным элементом.Всегда проверяйте границы k и обрабатывайте пустые массивы/базовые случаи.