Краткий ответ (контрпример + объяснение) и набор практических эвристик.

1) Контрпример, показывающий, что нельзя свести гамильтоновость к «простому локальному условию степеней вершин».

Под «простым локальным условием степеней» обычно понимают правило, зависящее только от степеней вершин (или от минимума/максимаума степеней), т.е. от функции вида «для всех (v) выполняется некое условие на (d(v))» (или на мультисте степени).Классический контрпример: Петерсенов граф (P) (10 вершин) нев Hamiltonов, но он 3-регулярен: для всех вершин (d(v)=3), (n=10). С другой стороны, существует 3-регулярный гамильтонов граф на 10 вершинах (например, призма над (C_5), т.е. (C_5\square K_2)). Оба графа имеют одну и ту же последовательность степеней (все степени равны 3), но один гамильтонов, а другой — нет. Следовательно, никакое решение, зависящее только от степеней вершин, не может быть и необходимым, и достаточным для гамильтоновости.Дополнительно: теоремы типа Дирака или Ора дают достаточные условия: например, если (\delta(G)\ge n/2), то (G) гамильтонов (Дирак). Но это только достаточное условие — не характеризация; контрпример выше демонстрирует, что степень сама по себе не определяет гамильтоновость.

2) Эвристики для поиска гамильтонова цикла в больших разреженных графах (практические приёмы)

Предварительные проверки и редукции

Проверки на невозможность: если в графе есть вершина с (d(v)=0) или есть мост, или 2‑ядро (2-core) содержит меньше чем (n) вершин, то гамильтонова цикла нет. (2-core — результат итеративного удаления вершин степени (<2).)Простые редукции: вершины степени 2 дают «принудительные» ребра — их можно последовательно сворачивать (folding), уменьшая задачу.Удаление висячих веток, компонент и проверка связности после удалений.

Поисковые и локальные методы

Глубокий поиск с отсечениями (DFS/backtracking) с эвристическим порядком выбора соседей (например, выбирать соседей в порядке невозрастания степени — fail-fast). Применять низкоуровневые отсечения: если в непосещённых вершинах остаётся мост или компонента, несовместимая с завершением цикла — откат.Pósa rotations (rotations‑extension): держим длинный простой путь и выполняем «повороты» концов пути, чтобы получить новые окончания и тем самым расширить поиск для получения гамильтонова цикла. Очень эффективен на разреженных графах.k‑opt / edge‑exchange (аналогично в TSP): пытаться локально обменять до (k) рёбер, чтобы превратить длинный цикл/путь в гамильтонов. Lin–Kernighan‑подобные процедуры дают хорошие практические результаты.Жадные наращивания с рандомизированными рестартами: строим случайные или степенево-эвристические пути, пытаться «закрыть» их в цикл; при неудаче — перезапуск с другой случайной последовательностью.Локальный поиск и simulated annealing / генетические алгоритмы: кодировать цикл как перестановку вершин; применять мутации (обмены рёбрами) и выбирать лучшие по длине покрываемого подграфа.

Комбинаторные и точные подходы

Кодирование в SAT/ILP: практично для средних графов; современные SAT‑солверы часто быстро находят решения или доказывают отсутствие.Динамическое программирование (Held–Karp) для точного решения: время и память (O(n^2 2^n)) — применимо только для (n) до ≈25–30.FPT‑алгоритмы: параметризация по ширине дерева/размеру 2‑ядра/длине искомого пути даёт экспоненциальную зависимость от параметра, но полиномиальную от (n) — полезно для графов с хорошей структурой (малый treewidth).Использование максимальных паросочетаний и теорем о замыканиях (Bondy–Chvátal closure) для сокращения графа: closure‑операции иногда упрощают задачу и могут выявить гамильтонова цикл или сделать граф полным.

Практические советы для больших разреженных графов

Комбинируйте методы: предварительная редукция + Pósa rotations + k‑opt + случайные рестарты.Используйте структуры данных для разреженных графов (адресованные списки смежности) и быстрые проверки на мосты/артикуляционные вершины (Tarjan) для отсечений.Ограничивайте время/ресурсы: задавайте таймауты и возвращайте лучший найденный «длинный цикл», если точного решения добиться нельзя.Для специальных случайных/структурированных разреженных графов использовать теоремы порогов и экспансии: в случайных графах (G(n,p)) наличие гамильтонова цикла имеет порог примерно при (p\sim (\log n)/n); это даёт идеи эвристик (поиск длинного пути в 2‑ядре и т.д.).

Заключение: гамильтонов цикл — глобальное свойство, не определяемое только локальными степенями (контрпример: Петерсенов граф vs 3‑регулярен гамильтонов граф на 10 вершинах). На больших разреженных графах полагаться надо на комбинацию редукций, Pósa‑поворотов, локального обмена рёбрами, рандомизации и, при необходимости, кодирования в SAT/ILP или точных экспоненциальных алгоритмов.