Кратко, но с пояснениями.
1) Точное переборное/динамическое решение (битмаски)
- Обозначим вершины $V=\{0,\dots ,n-1\}$. Для подмножества уже расположенных вершин (маска) $\text{mask}$ пусть $DP[\text{mask}]$ — число топологических упорядочений, начинающихся с множества $\text{mask}$ (т.е. уже размещённых). Тогда
$$DP[\varnothing ]=1,DP[\text{mask}]=\sum _{v\in \mathrm{Avail}(\text{mask})}DP[\text{mask}\cup \{v\}],$$ где $\mathrm{Avail}(\text{mask})$ — вершины, не в $\text{mask}$, все предки которых уже в $\text{mask}$.
Ответ: $DP[\{0,\dots ,n-1\}]$.
- Сложность: время $O(n{2}^n)$ (на каждом маске проверяем/перебираем доступные вершины), память $O(2^n)$. Практически работает до \(n\approx 20\mbox{--}25\).
2) Сложность задачи в общем случае
- Подсчёт числа топологических упорядочений (число линейных расширений частичного порядка) — #P‑полная задача (Brightwell & Winkler и др.). То есть нет реального полиномиального алгоритма для общего DAG (при обычных предположениях).
3) Классы графов/позиций, где подсчёт упрощается (точно или полиномиально)
- Дизъюнктные компоненты (нет рёбер между компонентами). Если компонент i имеет размер $n_i$ и даёт $c_i$ упорядочений, то
$$\text{total}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1,\dots ,n_k}\right)\prod _{i=1}^k{c}_i.$$ - Корневые леса (частичные порядки, задаваемые ориентированными деревьями, предок<потомок). Для корня с детьми и соответствующими поддеревьями размеров $s_1,\dots ,s_k$ и числами упорядочений $L_1,\dots ,L_k$:
$$L(\text{поддерево})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\sum }_i{s}_i}{s_1,\dots ,s_k}\right)\prod _{i=1}^k{L}_i.$$ (Рекурсивно для всех вершин; для леса между деревьями множитель-мультиномиальный как в предыдущем пункте.)
- Серийно-параллельные частичные порядки и структуры с декомпозицией (двоичное разбиение, cograph/series-parallel) допускают рекурсивный расчёт по декомпозиции.
- Покрывающий граф (cover graph) с ограниченной шириной/малым treewidth: при фиксированном малом treewidth можно посчитать за полиномиальное (FPT) время через DP по tree‑decomposition (время экспоненциально от treewidth, полиномиально от $n$).
4) Приближённые и случайные алгоритмы для больших графов
- Последовательная важностная выборка (sequential importance sampling): многократно строим линейное расширение, на каждом шаге случайно выбираем одну из доступных вершин по некоторому распределению (обычно равномерно или с эвристикой), и оцениваем число как среднее от обратных произведений выбранных вероятностей — даёт нерепрезентативные, но часто практичные оценки; требует множество прогонов и контроля разброса.
- MCMC (Markov Chain Monte Carlo): цепочка, меняющая соседние элементы (adjacent transposition) с допустимой перестановкой — используется для (приближённого) равномерного сэмплинга линейных расширений. На практике это работает хорошо; теоретические оценки времени смешивания частично изучены (зависит от класса позиций).
- Самоснижающееся приближение (self‑reducibility + сэмплинг): чтобы оценить число, представляют его как произведение относительных вероятностей (например, вероятность того, что данная вершина первая), и каждая вероятность оценивается с помощью сэмплирования; даёт случайный приближённый алгоритм при возможности эффективного сэмплинга.
- Приближённые границы/оценки: можно получить верхние и нижние оценки через числа доступных минимальных элементов на каждом шаге или через релаксации (например, матричные/LP-релаксации) — быстрые но грубые.
- Практически: комбинируют SIS и MCMC, используют много независимых запусков, адаптивные вероятности, контроль дисперсии; для больших n этот подход даёт приближённые оценки, но без общего гаранта полиномиальной точности.
5) Рекомендации по выбору метода
- Точные ответы: DP по маскам для \(n\le 20\mbox{--}25\); рекурсивные формулы для лесов/серийно-параллельных/дизъюнктных компонентов.
- Большие произвольные DAG: используйте MCMC для сэмплинга и self‑reducibility либо последовательную важностную выборку; контролируйте дисперсию оценок и делайте много независимых прогонов.
- Если граф имеет малый treewidth/декомпозицию — строите DP по декомпозиции (FPT по параметру).
Если нужно, могу привести псевдокод DP по маскам, рекурсивную формулу для дерева с примером вычисления или схему последовательной важностной выборки.