Кратко: опишу агентно‑ориентированную модель (ABM) на кластерной сети, уравновешенную детерминистскую SIR‑модель, метрики сравнения (включая вспышки и суперраспространителей), процедуры калибровки, верификации и оценки чувствительности.
1) Сеть и данные
- Генерация сети с сильной кластеризацией: например, модель Уоттса‑Строгацса или стохастическая блочная модель. Параметры сети:
- средняя степень $⟨k⟩$;
- дисперсия степени $\mathrm{Var}(k)$;
- коэффициент кластеризации $C$.
- Для малого сообщества возьмите размер $N$ (например, $N$ порядка $10^2$–$10^3$).
2) Агентно‑ориентированная модель (ABM)
- Состояния агентов: Susceptible (S), Infectious (I), Recovered (R).
- Дискретное время (шаг $\Delta t$) или непрерывный (Gillespie). Правила:
- Каждый инфицированный агент при каждом временном шаге заражает каждого соседя с вероятностью передачи $p$ (если дискретно) либо по краю с интенсивностью $\beta$ (если непрерывно).
- Восстановление с вероятностью $q$ в шаге ($q=1-e^{-\gamma \Delta t}$) либо экспоненциально с параметром $\gamma$.
- Формулы (дискретно): вероятность заражения соседа за шаг
$$p=1-e^{-\beta \Delta t}.$$ Для одного инфицированного среднее число вторичных инфекций (по сети) измеряется эмпирически; в среднем для однородной смеси $R_0=\beta /\gamma$, на сети с вариацией степени приближённо
$$R_0\approx T\frac{⟨k^2-k⟩}{⟨k⟩},$$ где $T$ — вероятность передачи по ребру в течение инфекционного периода.
- Суперраспространители: вводим неоднородность либо через распределение степеней (узлы с большой $k$), либо через индивидуальные коэффициенты заразности ${\beta }_i$ (например, ${\beta }_i$ распределены по отрицательному биномиальному с параметром дисперсии $k$). Оценка суперраспространителя: индивид, давший >$s$ вторичных инфекций.
3) Уравновешенная (детерминистская) SIR‑модель (mean‑field)
- Уравнения:
$$\frac{dS}{dt}=-\beta \frac{SI}{N},\frac{dI}{dt}=\beta \frac{SI}{N}-\gamma I,\frac{dR}{dt}=\gamma I.$$ - Параметры выбираются так, чтобы обеспечить ту же среднюю заразность: $R_0=\beta /\gamma$.
- Эта модель даёт лишь среднюю траекторию и не воспроизводит квантование, вариативность и редкие крупные вспышки.
4) Сравнение по способности воспроизводить стохастические вспышки и суперраспространителей
- Провести ансамбль симуляций ABM (число реализаций $M$, рекомендуется $M\ge 10^3$ для надёжной оценки редких событий) и сравнить с детерминистской траекторией и со стохастической mean‑field (Gillespie SIR).
- Метрики:
- распределение итогового размера эпидемии (attack rate): $A$;
- распределение пикового числа инфицированных и времени пика;
- вероятность крупной вспышки (outbreak probability);
- распределение числа вторичных инфекций на индивида — оценка дисперсии и параметра дисперсии $k$ отрицательного биномиального: при выборке offspring $x_i$ MLE для $k$ через лог‑правдоподобие;
- вклад верхних $p\%$ индивидов в суммарную передачу (например, топ $20\%$).
- Ожидаемые различия:
- ABM при сильной кластеризации даёт более высокий шанс малых локальных вспышек и, при наличии вариабельности степени/заразуемости, тяжёлые хвосты offspring → суперраспространители.
- Детерминистская SIR даёт гладкую кривую, не отражающую асимметрии, вариативности и редкие крупные события.
5) Калибровка моделей
- Цель: подобрать параметры ($\beta ,\gamma ,p,$ параметры сети) по наблюдениям (временные ряды случаев, вторичные инфекции).
- Для детерминистской SIR:
- по начальному росту $r$ оценить $\beta S(0)/N-\gamma =r$;
- по среднему поколенческому интервалу $T_g$ взять $\gamma =1/T_g$;
- затем $\beta =r+\gamma$.
- Для ABM:
- Если доступны данные по контактам — калибруйте $p$ (или $\beta$) чтобы эмпирическое $R_0^{\mathrm{ABM}}$ совпадало с наблюдаемым $R_0$.
- Подходы: MLE (если данных по цепочкам передачи), Approximate Bayesian Computation (ABC) — минимизация расстояния между суммарными статистиками (attack rate, peak time, offspring distribution), или MCMC по имитации.
- Функция потерь (пример):
$$L(\theta )=\sum _j{w}_j{\left(\frac{S_j^{\mathrm{sim}}(\theta )-S_j^{\mathrm{obs}}}{{\sigma }_j}\right)}^2,$$ где $S_j$ — выбранные статистики, $w_j$ веса, ${\sigma }_j$ оценки шума.
- Рекомендация: сначала калибровать на моментальном росте и среднем $R_0$, затем подтянуть параметры сети/неоднородности для подгонки хвостовых свойств offspring.
6) Верификация (проверка правильности реализации)
- Юнит‑тесты: сохранение количества агентов $S+I+R=N$ в каждом шаге.
- Сходимость интегратора для детерминированной SIR (уменьшение шага $\Delta t$ не меняет траекторию).
- Воспроизведение аналитических предельных случаев:
- при однородной полной сети среднее по ABM должно сходиться к детерминистскому решению при $N\to \infty$;
- при малых начальных I проверить совпадение вероятности вымирания с ветвящимся процессом.
- Репродуцируемость: фиксированные seed, многократные прогоны.
- Отладка случайных событий: проверка распределения времени до следующего события (для Gillespie).
7) Оценка чувствительности и анализ неопределённости
- Цели: понять, какие параметры влияют на итоговый размер, вероятность крупной вспышки и частоту суперраспространителей.
- Методы:
- Локальный анализ (partial derivatives): малые возмущения $\Delta \theta$ вокруг точки по умолчанию.
- Однофакторный анализ (OAT): менять по одному параметру.
- Глобальный анализ: Latin Hypercube Sampling (LHS) + PRCC (Partial Rank Correlation Coefficients); Sobol‑индексы для декомпозиции дисперсии.
- Параметры для вариации: $\beta ,\gamma ,p,$ параметры распределения степеней (среднее $⟨k⟩$, дисперсия), коэффициент кластеризации $C$, параметр дисперсии индивидуальной заразности $k_{\mathrm{offspring}}$.
- Выходные величины: итоговый размер $A$, пиковое $I_{\max }$, время пика $t_{\max }$, вероятность крупной вспышки, оценённый параметр дисперсии offspring.
- Практика: для устойчивых оценок глобальной чувствительности требуется количество симуляций порядка нескольких тысяч; для редких событий — увеличить число реализаций, например $M\ge 10^3$–$10^4$.
8) Оценка суперраспространителей (статистические процедуры)
- Собрать распределение количества вторичных инфекций per index case из ансамбля ABM.
- Подгонка распределения отрицательного биномиала: оценить $k$ через MLE; малое $k$ = сильная перегруппированность.
- Тесты на тяжелый хвост: сравнение правых хвостов между ABM и mean‑field стокастической моделью (KS‑тест для offspring распределений, байесовская оценка хвоста).
9) Практические рекомендации
- Для малых кластерных сетей ABM необходим для оценки стохастики и суперраспространителей; детермин. SIR служит референтом средней динамики и для быстрого скрининга параметров.
- Калибруйте SIR так, чтобы он имел тот же $R_0$ и средний generation time как ABM, затем используйте ABM для проверки хвостовых эффектов.
- Документируйте все предположения по контактам и распределениям; проводите верификацию и sensitivity analysis перед выводами.
Если нужно, могу дать краткую пошаговую инструкцию реализации (псевдокод ABM, параметры выбора сети, примеры команд для Sobol/ABC).