Краткая формулировка модели, способы симуляции, оценивания, валидации и учёта неоднородностей/вмешательств.
1) Постановка на графе
- Граф контактов $G=(V,E)$, матрица смежности $A=(A_{ij})$ (взвешенная или 0/1). Для каждого узла $i$ состояния $S,I,R$ (числа или вероятности).
- Узловой (NIMFA) детерминированный приближённый ODE для долей/вероятностей $S_i(t),I_i(t),R_i(t)$:
$$\frac{d{S}_i}{dt}=-\beta S_i\sum _j{A}_{ij}{I}_j,\frac{d{I}_i}{dt}=\beta S_i\sum _j{A}_{ij}{I}_j-\gamma I_i,\frac{d{R}_i}{dt}=\gamma I_i.$$ (Здесь $S_i+I_i+R_i=1$ если это вероятности.)
2) Стохастическая модель (точная CTMC на графе)
- Правила: для любого инфицированного узла $j$ и соседнего восприимчивого $i$ событие заражения $S_i\to I_i$ происходит с интенсивностью $\beta A_{ij}$; восстановление $I_i\to R_i$ с интенсивностью $\gamma$.
- Интенсивность заражения восприимчивого $i$ в момент $t$:
$${\lambda }_i(t)=\beta \sum _j{A}_{ij}{1}_{\{j\text{инфекц. в}t\}}.$$ - Симуляция: алгоритм Гиллеспи / реакционно-сетевой SSA:
1. Вычислить все текущие интенсивности (вызовы заражения и восстановления).
2. Сгенерировать время до следующего события эксп($\sum \text{intens}$).
3. Выбрать тип/узел события с вероятностью пропорционально интенсивности; обновить состояния и интенсивности; повторять.
3) Оценивание параметров ($\beta ,\gamma$) по наблюдениям
- Полные наблюдения (времена заражения/выздоровления для узлов): максимальное правдоподобие. Общая форма правдоподобия для CTMC:
$$L(\beta ,\gamma )=\prod _{k\in \text{инф. события}}{\lambda }_{i_k}(t_k)\exp (-{\int }_0^T\sum _{i\in S(t)}{\lambda }_i(t)dt)\times \prod _{r\in \text{восст.}}\gamma \exp (-\gamma \Delta t_r).$$ Максимизировать по параметрам или брать байесовскую апостериорную оценку.
- Частичные/агрегированные данные (дневные случаи, неполное тестирование): методы частичной информации
- Частичная правдоподобная оптимизация с восстановлением скрытых траекторий (EM, data augmentation MCMC).
- Частично наблюдаемые фильтры (particle filter / Sequential Monte Carlo) для оценивания и фильтрации параметров.
- Approximate Bayesian Computation (ABC) при невозможности вычислить правдоподобие.
- Учёт недоучёта/задержек: ввести параметр отчётности $\rho$ (вероятность, что событие зафиксировано), моделировать задержки отчетов как распределение времени наблюдения.
4) Чувствительность и идентифицируемость
- Локальная чувствительность: численные производные/градиенты целевой метрики $y(\theta )$ по параметрам $\theta$ (например, конечный размер эпидемии, peak time): $\partial y/\partial \theta$.
- Профильное правдоподобие для выявления идентифицируемости (фиксировать один параметр, оптимизировать остальные).
- Глобальная чувствительность: Sobol, Morris — варьировать параметры в пределах априорных интервалов и смотреть вклад в дисперсию выходов.
- Анализ «sloppy parameters»: собственные значения матрицы Фишера (Fisher Information) — показатели, насколько параметры идентифицируемы.
- Валидация параметров: параметрическая бутстрэп, кросс-валидация по временам/регионам, posterior predictive checks (сравнить распределения симуляций с данными).
5) Валидация модели
- Разделение данных: калибровка на тренировочном интервале, тестирование прогноза на отложенном периоде.
- Posterior predictive checks: моделировать траектории с полученным распределением параметров и сравнивать с наблюдаемыми статистиками (накопленные случаи, пиковые значения, временные профили).
- ROC/precision для предсказания отдельных узлов (если есть лейблы заражений по узлам).
- Сравнение альтернативных моделей (AIC, BIC, WAIC, LOO-CV для байесовских моделей).
6) Учёт неоднородностей
- Пер-ребро и пер-узел трансмиссивности: ввести веса ${\beta }_{ij}$ или узловые коэффициенты ${\beta }_i$, тогда интенсивность заражения
$${\lambda }_i(t)=\sum _j{\beta }_{ij}{A}_{ij}{1}_{\{j\text{инфекц.}\}}.$$ - Групповая структура / возраст: разбить на подпопуляции $a,b$ и использовать контактную матрицу $C_{ab}$; агрегированные ODE:
$$\frac{d{I}_a}{dt}=\sum _b\beta C_{ab}{S}_a\frac{I_b}{N_b}-\gamma I_a.$$ - Вариабельность восприимчивости/вирусовыделения: вводить распределения ${\beta }_i\sim$ (например, гамма) или стохастические весы; учитывать супершреддеров.
- Ассимптоматические/латентные стадии: добавить компартмент(ы) $E$ (exposed), $A$ (асимп.) с отдельными параметрами перехода и инфективности.
7) Моделирование вмешательств
- Вакцинация:
- Снижение доли восприимчивых: для вакцинированного узла $i$ снизить $S_i\to (1-e_i)S_i$ или удалить узел (стерильная иммунность).
- Снижение передачи: уменьшить ${\beta }_{ij}\to (1-e_{ij}^{\text{trans}}){\beta }_{ij}$.
- Стратегии: случайная, таргетированная по степени (удаление/вакцинация узлов с максимальной степенью $k$), по центральности.
- Локдауны / сокращение контактов:
- Временное изменение весов/матрицы: $A_{ij}(t)=c(t)A_{ij}$ или для подгрупп $c_{ab}(t)$.
- Удаление/реорганизация краёв между кластерами, временное снижение степени.
- Тестирование и изоляция: введение быстрого удаления инфицированных (увеличение $\gamma$ для выявленных) или переводом в отдельный компартмент с нулевой инфективностью.
- Комбинации и time‑dependent параметры: модель с $\beta (t)$, $\gamma (t)$, $A(t)$.
8) Практические рекомендации
- Для больших сетей (миллионы узлов): использовать NIMFA/парные аппроксимации или агрегацию по классам; для важной локальной динамики — стохастические симуляции на подграфах.
- Для частичных данных: предпочтительны particle MCMC / SMC или ABC; если есть много данных и сеть неизвестна — оценивать эффективную контактную матрицу из мобильности/опросов.
- Проверяйте идентифицируемость перед интерпретацией параметров, проводите глобальную чувствительность и posterior predictive validation.
Если надо, могу привести компактный псевдокод для Gillespie на графе или пример правдоподобия/EM для частичных наблюдений.