Кратко и по существу — выбор модели, параметризация и неопределённость, численные методы и валидация, практические выводы для политики при ограниченных данных.
1) Выбор модели — критерии и рекомендации
- Критерии: размер и разбиение популяции, доступность данных (популяционные серии случаев, мобильность), роль случайности, требуемая детализация интервенций.
- Рекомендация:
- Для сети городов с гетерогенными контактами и сезонностью: метапопуляционная SEIR/SEIQR-ODE с движением между узлами как базовый быстрый подход (баланс точности/скорости).
- Если важны случайные завозы и малые очаги — стохастическая метапопуляционная модель (Gillespie / tau-leaping).
- Для оценки локальных мер (локдаун, тест/изоляция, контакт-трейсинг) в конкретных городах — гибрид: агентная модель для нескольких ключевых узлов + метапопуляционная ODE/стохастика для остальных.
- Если есть детальные данные контактов/транспорта — полноценная агентная модель; если данных мало — не стоит перегружать модель агентным уровнем.
2) Математическая формулировка (пример метапопуляционной SEIR с сезонностью и мобильностью)
$$\begin{array}{rl}{\dot{S}}_i& =-{\beta }_i(t)S_i\sum _j\frac{C_{ij}{I}_j}{N_j}+\sum _j{M}_{ji}{S}_j-\sum _j{M}_{ij}{S}_i,\\ {\dot{E}}_i& ={\beta }_i(t)S_i\sum _j\frac{C_{ij}{I}_j}{N_j}-\sigma E_i+\sum _j{M}_{ji}{E}_j-\sum _j{M}_{ij}{E}_i,\\ {\dot{I}}_i& =\sigma E_i-\gamma I_i+\sum _j{M}_{ji}{I}_j-\sum _j{M}_{ij}{I}_i,\\ {\dot{R}}_i& =\gamma I_i+\sum _j{M}_{ji}{R}_j-\sum _j{M}_{ij}{R}_i,\end{array}$$ где $C_{ij}$ — матрица контактных интенсивностей (может быть асимметричной), $M_{ij}$ — матрица потоков (число людей в единицу времени), сезонность задаётся через ${\beta }_i(t)$, например
$${\beta }_i(t)={\beta }_{0,i}(1+a_i\sin (\frac{2\pi t}{T}+{\varphi }_i\left)\right).$$ Базовое репродуктивное число для сети через следующую генерацию:
$$K_{ij}=\frac{{\beta }_{0,i}{S}_i^0{C}_{ij}}{\gamma N_j},R_0=\rho (K),$$ где $\rho (\cdot )$ — спектральный радиус.
3) Параметры и неопределённости — как задать
- Параметры: ${\beta }_{0,i}$, $a_i$, ${\varphi }_i$, $\sigma$ (1/инфекционный латентный период), $\gamma$ (выздоровление), элементы $C_{ij}$, $M_{ij}$, уровни подотчётности/запаздывания.
- Источники оценки: мобильность (мобильные данные, транспортные потоки), демография, эпидсериалы, госпитализации, серопробы.
- Неопределённости:
- Ввести иерархические априорные распределения по узлам: ${\beta }_{0,i}\sim \text{LogNormal}({\mu }_{\beta },{\sigma }_{\beta })$ и т.д.
- Наблюдательная модель: если наблюдаются случаи $y_{i,t}$,
$$y_{i,t}\sim \text{NegBin}({\rho }_i(t)\cdot {\text{new\_infections}}_{i,t},k),$$ где ${\rho }_i(t)$ — доля выявления, $k$ — параметр сверхдисперсии.
- Моделировать подотчётность, задержки и изменение тестирования во времени.
4) Оценка параметров и алгоритмы под неопределённость
- Если данные агрегированы/слишком шумны: ABC или Approximate Bayesian methods.
- Для детальной подгонки: particle MCMC, iterated filtering (IF2), или PMMH; для больших систем — Ensemble Kalman Filter / EAKF для онлайн-оценки.
- Предположения/приоритеты: использовать иерархическую валидацию (общие гиперпараметры плюс локальные отклонения).
- Провести глобальный анализ чувствительности (Sobol, FAST) и локальный (PRCC) по ключевым параметрам.
5) Численные методы и реализация
- Детерминированная ODE-часть: жёсткие решатели (CVODE/Sundials) при больших разностях временных шкал.
- Случайная модель: Gillespie для малых популяций; tau-leaping или τ-LEAP для ускорения; hybrid tau-leap/ODE для комбинированных систем.
- Агентные модели: оптимизировать с помощью скомпилированного кода (C++, Java) и параллелизации; для экспериментов — Mesa/Repast.
- Для многократных сценариев и байесовского вывода — массовая параллельная прогонка ансамблей на кластере/облаке.
- Контроль численной точности: сравнение шагов, тесты на сохранение населения, воспроизводимость.
6) Валидация модели
- Hindcasting: подгонка по части исторического периода, прогнозирование в вёрстке на отложенный период.
- Posterior predictive checks: сравнить распределения наблюдений и симуляций.
- Кросс-валидация по узлам (оставить города для проверки).
- Сопоставление с независимыми источниками: госпитализации, смертность, серопробы, данные по мобильности.
- Оценка предсказательной вероятности событий (вероятность пика > порог) — калибровка вероятностных прогнозов.
7) Выводы для принятия решений при ограниченных данных
- Формат результата: сценарный ансамбль с неопределённостями, не единственная траектория.
- Полезные метрики: $R_{\text{eff}}(t)$ по узлам, вероятность появления крупного очага в узле, ожидаемая нагрузка на госпитали, время и высота пика, суммарный атак-рейд/доля инфицированных.
- Рекомендации политике:
- Принять решения на основе сценариев и порогов (например, если P(пик>мощности)=>0.1 — активировать меры).
- При нехватке данных — ориентироваться на «no-regret» меры: усиление целевой тестирования, защита здравсистемы, приоритет вакцинации/терапии в узлах с высокой центральностью в матрице $M$ или высокими $C_{ii}$.
- Использовать локализованные NPIs в городах с высоким вкладом в мета-спред (высокая исходящая мобильность), вместо общенационального lockdown, когда цель — задержать распространение.
- Инвестиции в сбор данных: регулярные серosurveys, sentinel-госпитали, агрегированная мобильность — наибольшая ценность для уменьшения неопределённости.
- Оценка стоимости информации (Value of Information): какие сборы данных дадут наибольшее снижение неопределённости для решения.
8) Практические советы по рабочему процессу
- Начать с простого метапопуляционного SEIR, провести чувствительность и идентифицируемость параметров; при необходимости усложнять.
- Вести ансамбль моделей (ODE, стохастика, агентная) для оценки структурной неопределённости.
- Документировать все допущения, варианта наблюдательной модели и сценарии тестирования.
- Готовить понятные выводы для власти: вероятностные пороги, ключевые неопределённости и рекомендации по дополнительным данным.
Коротко: используйте метапопуляционную SEIR/стохастику с матрицами контактов $C_{ij}$ и мобильности $M_{ij}$, задавайте сезонную ${\beta }_i(t)$, оценивайте параметры через байесовские/частичные фильтры с наблюдательной моделью (NegativeBinomial + подотчётность), проверяйте через hindcast и независимые данные, давайте политике ансамблевые сценарии и рекомендации по сбору данных и целевым мерам.