Коротко — что неверно/опасно и как исправить.
Наблюдаемые проблемы и причины
- Плохой выбор опорного элемента: берётся $p=a[l]$. Для уже отсортированных или почти отсортированных массивов (или при частых экстремумах) алгоритм даёт разбиения очень неравномерные → худший случай по времени $O(n^2)$.
- Глубина рекурсии может достигать $O(n)$ -> риск переполнения стека.
- Много одинаковых элементов: текущая схема (двухуказательна с условиями $\le ,\ge$) даёт много нерезультативных движений и деградацию производительности.
- Возможные ошибочные вызовы/выходы за границы, если caller передаёт $r$ как size() (вместо size()-1) или отрицательные индексы — нужно явно документировать/проверять.
- Быстрая сортировка не устойчива по стабильности (если требуется — это минус).
Корректность: алгоритм в целом работает, но подвержен вышеперечисленным нюансам. Внутренние while используют защиту $i<j$ — это предотвращает бесконечный цикл, но не решает асимптотику.
Рекомендации — алгоритмические и практические
1. Улучшение выбора опорного элемента
- Случайный опорный элемент (randomized pivot): уменьшает вероятность худшего случая до крайне малой. Выбирать случайный индекс из $[l,r]$.
- Median-of-three: взять медиану из $\{a[l],a[(l+r)/2],a[r]\}$ — часто даёт хорошие разбиения на частных данных.
2. 3-way partition (Dutch National Flag) при наличии многих равных элементов
- Разбиение на три части ( pivot). Это даёт линейную сложность на массивах с большим числом одинаковых ключей и уменьшает число рекурсий.
- Сложность: в среднем $O(n\log n)$, для большого числа равных ключей — приближается к $O(n)$.
3. Ограничение глубины рекурсии / introsort
- Реализовать introsort: при превышении порога глубины (обычно $2{\log }_{2}n$) переключаться на heapsort. Это гарантирует худший случай $O(n\log n)$.
- Альтернатива: при рекурсии всегда рекурсировать в меньшую часть, а в большую — преобразовать в цикл (tail recursion elimination). Тогда максимальная глубина стека будет $O(\log n)$ в среднем.
4. Порог для маленьких подмассивов
- Для маленьких подмассивов (обычно порог $10$–$32$) использовать insertion sort — это быстрее на малых размерах из-за малых констант.
5. Практические мелочи безопасности и интерфейса
- Явно требовать, что $r$ — это индекс последнего элемента (или использовать перегрузку с length). Проверять границы: если $l<0$ или $r\ge$size() — бросать исключение/assert.
- Использовать типы размерности (например, size_t или int64_t) согласно размеру данных.
- Для многопоточных/реальных задач — использовать std::sort (реализует introsort) или std::stable_sort при необходимости стабильности.
Оценки сложностей (после улучшений)
- Время:
- Среднее: $O(n\log n)$.
- Худший (без introsort/fallback): $O(n^2)$ (например, при всегда плохом pivot).
- Худший (с introsort/heap‑fallback): $O(n\log n)$.
- Для 3-way при множестве дубликатов: может фактически работать ~$O(n)$ по времени.
- Память:
- Доп. память (не считая входного массива): константная $O(1)$ (внутренняя), рекурсивная стек‑память в среднем $O(\log n)$, в худшем без защит — $O(n)$. С tail-recursion/elimination — гарантированно $O(\log n)$.
Короткие практические рекомендации, что сделать прямо сейчас
- Заменить выбор pivot на random или median-of-three.
- Реализовать 3-way partition, или хотя бы switch на insertion sort для маленьких подмассивов.
- Добавить защиту от глубокой рекурсии: рекурсировать в меньшую часть, циклом обрабатывать большую, либо использовать introsort/heap‑fallback.
- Проверять границы аргументов и использовать корректные типы индексов.
- Или просто использовать std::sort (готовое, проверенное, оптимизированное решение).
Если нужно — могу привести компактный исправленный вариант partition + рекурсия с выбором случайного pivot или пример 3-way partition на C++.