Коротко: код корректен (он возвращает отсортированный список), но имеет явные недостатки по памяти и по устойчивости к худшим случаям. Ниже — анализ и конкретные предложения с реализационными рекомендациями.
Анализ корректности
- Алгоритм корректен: он реализует QuickSort с явным выделением элементов меньше, равных и больше опорного элемента, поэтому возвращает отсортированный список.
- Стабильность: нестабилен (относительный порядок равных элементов не гарантируется).
Временная и пространственная сложность
- Средняя временная сложность: $O(n\log n)$.
- Худшая (на неблагоприятном выборе опорного элемента): $O(n^2)$.
- Память (текущий код):
- В среднем рекурсивная глубина $O(\log n)$ и пиковое потребление дополнительной памяти — $O(n)$.
- В худшем случае (сильно неравные разделения, глубина $O(n)$) пиковое потребление может стать $O(n^2)$ из‑за копирования списков на каждом уровне.
Проблемы на однородных/специфичных данных
- Текущая реализация делает три прохода по массиву на каждом шаге (для less, equal, greater), что даёт большой константный множитель.
- Для многих равных элементов текущая версия частично защищена (equal собирает все дубликаты), поэтому глубина может быть небольшой, но всё равно производится лишнее копирование/сканирование.
- Выбор опорного элемента как arr[0] ломает устойчивость: отсортированные или почти отсортированные входы приводят к худшим случаям.
Конкретные алгоритмические и реализационные улучшения (конкретно и применимо)
1. Случайный или «median-of-three» опорный элемент
- Выбирать опорный элемент случайно: уменьшает вероятность худшего случая до очень малой.
- Альтернатива: median-of-three (взять медиану из $a[lo],a[mid],a[hi]$) — простая детерминированная защита.
2. Трёхсторонняя (Dutch National Flag) одно проходное разделение
- Делает один проход для разделения на и эффективно обрабатывает множество равных элементов.
- Уменьшает число сравнений/перемещений по сравнению с тройным list-comprehension.
3. In-place реализация (без выделения новых списков)
- Снижает потребление памяти до $O(\log n)$ в среднем (только стек вызовов).
- В сочетании с трёхсторонним partition даёт меньшие константы по времени и памяти.
4. Итеративный подход / управление стеком
- Использовать явный стек (или всегда сначала рекурсивно обрабатывать меньшую часть) чтобы ограничить максимальную глубину стека.
- Или использовать итеративную реализацию, чтобы избежать переполнения стека на Python.
5. Порог для мелких подмассивов — вставками
- Для подмассивов размера ≤ $k$ (рекомендуется $k=16$ или $32$) переключаться на insertion sort — быстрее на малых n.
6. Introsort / защита от худшего случая
- Дополнительно при глубине рекурсии > $2{\log }_{2}n$ переключаться на heapsort — гарантирует время $O(n\log n)$ в худшем случае.
7. Для production — использовать встроенный sorted()/list.sort()
- Python использует Timsort с гарантией $O(n\log n)$ в худшем случае и очень хорошими практическими свойствами.
Пример конкретной реализации (рекомендую использовать её как основу)
- свойства: in-place, трёхстороннее разделение, рандомный выбор опорного, итеративно, порог для insertion sort.
Пример (иллюстрация, минимальная, чтобы понять идею):
def quicksort(a):
import random
def insertion_sort(a, lo, hi):
for i in range(lo+1, hi+1):
key = a[i]; j = i-1
while j >= lo and a[j] > key:
a[j+1] = a[j]; j -= 1
a[j+1] = key
threshold = 16
stack = [(0, len(a)-1)]
while stack:
lo, hi = stack.pop()
if lo >= hi:
continue
if hi - lo + 1 <= threshold:
insertion_sort(a, lo, hi)
continue
pivot_index = random.randint(lo, hi)
pivot = a[pivot_index]
lt, i, gt = lo, lo, hi
while i <= gt:
if a[i] < pivot:
a[lt], a[i] = a[i], a[lt]; lt += 1; i += 1
elif a[i] > pivot:
a[i], a[gt] = a[gt], a[i]; gt -= 1
else:
i += 1
# push larger part first to keep stack small
if lt - lo < hi - gt:
stack.append((gt+1, hi))
stack.append((lo, lt-1))
else:
stack.append((lo, lt-1))
stack.append((gt+1, hi))
Ключевые преимущества этой версии
- Однопроходное partition: меньше сравнений/копирований.
- In-place: значительно меньше аллокаций и лучшая локальность.
- Рандомизация + трёхстороннее разделение: устойчивая работа на одинаковых/почти одинаковых данных.
- Порог для insertion sort: ускоряет маленькие участки.
Резюме (коротко)
- Текущая реализация корректна, но затратна по памяти и подвержена худшим случаям при неблагоприятном выборе опорного элемента.
- Конкретные изменения: использовать рандомный/median-of-three опорный элемент, трёхстороннее in-place partition, итеративную обработку стека, порог перехода на insertion sort, и/или introsort для гарантий в худшем случае.
- Для реальных приложений предпочтительнее использовать Python‑встроенную сортировку (Timsort) или описанную выше улучшенную реализацию quicksort.