Кратко и по пунктам.
Модели — суть и уравнения
- Детерминированная SIR (ОДУ, население однородно):
$$\frac{dS}{dt}=-\beta \frac{SI}{N},\frac{dI}{dt}=\beta \frac{SI}{N}-\gamma I,\frac{dR}{dt}=\gamma I$$ базовый репродукционный: $R_0=\beta /\gamma$.
- Стохастические модели:
- Марковские компартментные процессы (вероятностные переходы, моделируются методом Gillespie).
- Диффузионные приближения / SDE: например $dI=(\beta SI/N-\gamma I)dt+\sigma d{W}_t$.
- Ветвящиеся процессы для ранней фазы (выживание/затухание).
- Агент‑ориентированная модель (ABM) на графе контактов:
- Узел = человек, ребро = контакт; передача по ребру с вероятностью $p$ за контакт; состояния S/I/R и правила переходов по времени или событиям.
- Поддержка сложных политик (локальная изоляция, трассировка, вакцинация).
Выбор модели в зависимости от цели
- Оценка общих трендов, $R_0$, сценарное прогнозирование на уровне города: детерминированная SIR или сетевые ОДУ (быстро, прозрачно).
- Оценка вероятности вымирания очага, дисперсии исходов, влияние стохастичности при малых числах: стохастические модели (Gillespie, ветвящиеся процессы).
- Оценка локальных вмешательств, целевой вакцинации, роль структуры контактов, эффекты супер‑распространителей и трассировки: ABM на графе контактов (требует детальной карты контактов или синтетической сети).
- Разработка оперативных мер (контакт‑трейсинг, очередности вакцинации): ABM предпочтителен.
Калибровка параметров
- Необходима явная модель наблюдения (подсчёты, задержки, доля репортации $\rho$):
- наблюдаемое число случаев = случайная функция от истинных новых инфекций и параметров отчётности.
- Методы:
- MLE / оптимизация по сумме квадратов для ODE (например минимизация RMSE).
- Байесовский подход (MCMC) для полной постериорной неопределённости.
- Частицы/Sequential Monte Carlo (PF) для стохастических моделей с нелинейными наблюдениями.
- Approximate Bayesian Computation (ABC) или эмульторы (Gaussian process) когда модель слишком дорогая.
- Сравнение по множеству данных: случайные случаи, госпитализации, серопревалентность.
- Практические моменты: учесть недоучёт ($\rho$), задержки, изменение тестирования во времени; задавать информативные априорные распределения.
Валидация результатов
- Разделение данных: тренировка / тест (скользящее окно), прогнозирование на вневременной период.
- Постериорные предиктивные проверки (coverage, предиктивные интервалы).
- Метрики: лог‑вероятность предсказания, CRPS, RMSE, AUC для бинарных событий (вспышка/нет).
- Валидация отдельных компонентов: контактная сеть (статистика степеней), временные задержки, распределение длительности инфекционного периода.
- Чувствительность к предположениям наблюдения (репортация, тестирование).
Оценка чувствительности
- Локальная: частные производные/одномерная вариация параметра вокруг точки (быстро).
- Глобальная: Sobol‑индексы, Morris, PRCC (Partial Rank Correlation Coefficients) — учитывают взаимодействия параметров.
- Для стохастических/ABM моделей учитывать вариабилити: для каждой точки параметров запускать $>100$ симуляций (или больше) и оценивать распределение исходов.
- При дорогих моделях использовать эмулторы (GP, полиномиальные хаотич. разложения) для оценки глобальной чувствительности.
Вычислительные требования и практичность
- Дет. ODE:
- Очень дешёвая: сложность пропорциональна числу компартментов $C$ и числу шагов по времени $T$: примерно $O(C\times T)$.
- На стандартном ноутбуке расчёт сценариев для города занимает секунды — удобна для массовой оптимизации/калибровки.
- Стохастические компартментные (Gillespie / tau‑leap):
- Стоимость пропорциональна числу событий $E$: $O(E)$. Для больших эпидемий может быть дороже, но возможна аппроксимация SDE/τ‑leap.
- Параллелизация по запускам — тривиальна.
- ABM на графе:
- Скейлинг ~ $O(N\times ⟨k⟩\times T)$ на один прогон, где $N$ — число агентов, $⟨k⟩$ — средняя степень.
- Требует большого объёма памяти для сети и состояний. Для города $N$ порядка $10^5$–$10^6$ уже серьёзные требования.
- Часто требует большого числа прогонов для статистики; эффективна параллельная инфраструктура / HPC / GPU (специализированные рамки).
- Практические трюки:
- Параллелизация по реализациям при стохастике/ABM.
- Использование метамоделей/эмулей для калибровки и глобальной чувствительности.
- Гибриды: метапопуляционные ODE, парные аппроксимации, сетевые ОДУ по кластерам — баланс точности и скорости.
Идентифицируемость и неопределённость
- Часто невозможно однозначно оценить одновременно $\beta$, $\gamma$ и репортацию $\rho$ из одних только случаев; нужны дополнительные данные (серопреп, госпитализации).
- Отражайте результат как распределение параметров/прогнозов, а не единственную «точечную» оценку.
- Проверяйте чувствительность выводов к неполноте данных и структурным предположениям (например, гомогенность vs сеть).
Рекомендованный рабочий конвейер (коротко)
1. Определить цель (оценка $R_0$, вероятность вымирания, эффективность таргетирования).
2. Выбрать модель по цели: ODE для быстрых оценок, стохастика для вероятностных выводов, ABM для политики на уровне контактов.
3. Построить наблюдательную модель (репортация, задержки).
4. Скалировать и калибровать (MLE / Байес / PF / ABC), использовать эмулеры при необходимости.
5. Валидировать на отложенных данных и проверках предсказания.
6. Провести глобальную оценку чувствительности; при высокой стоимости — построить эмультор.
7. Сообщить неопределённость и допущения явно.
Если нужно — могу предложить конкретную конфигурацию модели и протокол калибровки/валидации для заданного городского набора данных (численность $N$, доступные временные ряды, наличие сети контактов).