Модель SIR (замкнутое население, без рождаемости/смертности)
$$\frac{dS}{dt}=-\beta \frac{SI}{N},\frac{dI}{dt}=\beta \frac{SI}{N}-\gamma I,\frac{dR}{dt}=\gamma I.$$
Подбор параметров β и γ
- γ — скорость выхода из инфекционного состояния: $\gamma =1/T_{\inf }$, где $T_{\inf }$ — средняя продолжительность заразности (дни). Пример: $T_{\inf }=5$ дн $\Rightarrow \gamma =0.2{\text{д}}^{-1}$.
- β — средняя скорость передачи: $\beta =c\cdot p_{\text{trans}}$ (контакты в день × вероятность передачи за контакт). Практически β подбирают по целевому базовому репродукционному числу
$$R_0=\frac{\beta }{\gamma }.$$ Пример для гипотетического города (N=100000): взять $R_0=2.5$ и $\gamma =0.2$ даёт $\beta =R_0\gamma =0.5$.
Начальные условия: пусть $I(0)=10,S(0)=N-I(0),R(0)=0$.
Устойчивость равновесий
- В замкнутой SIR-системе стационарные состояния имеют $I^{\ast }=0$ (всякое $S^{\ast }$, $R^{\ast }=N-S^{\ast }$). Линейзация по малому $I$ даёт собственное значение
$$\lambda =\beta \frac{S^{\ast }}{N}-\gamma .$$ - Если $\beta \frac{S^{\ast }}{N}<\gamma$ (т.е. $R_{\mathrm{eff}}=\frac{\beta S^{\ast }}{\gamma N}<1$), то малые возмущения убывают — состояние без инфекции устойчиво. Если $R_{\mathrm{eff}}>1$, то инфекция растёт (неустойчиво).
- В классической SIR без демографии эндемического устойчивого состояния с $I^{\ast }>0$ нет: эпидемия либо растёт и затем умирает, оставляя конечный накопленный иммунитет. При наличии рождаемости/смертности появляется эндемическое равновесие при $R_0>1$ (не обязателен для данной постановки).
Конечный размер эпидемии (формула «final size»)
нормализуем $s=S/N$. Для начального $s(0)\approx 1$ решение для доли уязвимых в конце $s_{\infty }$ удовлетворяет неявному уравнению
$$\ln s_{\infty }-\ln s(0)=-R_0(1-s_{\infty }).$$ Пример: для $R_0=2.5,s(0)\approx 1$ решение даёт $s_{\infty }\approx 0.11$, итоговая доля переболевших $1-s_{\infty }\approx 0.89$ (≈89000 из 100000).
Пик эпидемии: достигается при $S/N=1/R_0$. Условие пика: $\beta S/N=\gamma$.
Влияние ограничений (локдауны) и вакцинации
1) Локдаун (снижение контактов) моделируется как временная функция $\beta (t)=\kappa (t)\beta$ с $\kappa \in [0,1]$.
- Если во время локдауна $\kappa \beta /\gamma <1$ то во время действия локдауна $I(t)$ начинает убывать (R_eff<1). Если локдаун временный, при ослаблении $\kappa$ эпидемия может возобновиться — локдаун снижает пик и даёт отсрочку, но не обязательно снижает конечный размер без сопутствующих мер или пока доля уязвимых не уменьшится.
- Пример: при исходных $\beta =0.5,\gamma =0.2$ (R0=2.5) снижение β на 60% ($\kappa =0.4$) даёт ${\beta }^{\prime }=0.2,R_0^{\prime }=1.0$ — граница роста. Снижение на 70% ($\kappa =0.3$) даёт $R_0^{\prime }=0.75<1$ — эпидемия затухает.
2) Вакцинация:
- Одновременная вакцинация доли $p$ в начале уменьшает начальную уязвимую долю: $s(0)=(1-p)$. Эффективное репродукционное число становится
$$R_{\mathrm{eff}}=R_0(1-p).$$ - Порог коллективного иммунитета (теоретический): $p_c=1-1/R_0$. Для $R_0=2.5$ это $p_c=1-0.4=0.6$ (60%). Вакцинация >60% предотвращает крупную эпидемию.
- Формула конечного размера при предвакцинации $p$:
$$\ln s_{\infty }-\ln (1-p)=-R_0(1-s_{\infty }).$$ - Пример: при $p=0.7$ имеем $R_{\mathrm{eff}}=2.5\times 0.3=0.75<1$ — крупной эпидемии не будет, вторичных вспышек незначительны.
Короткое суммирование практических выводов
- Основной контрольный параметр — $R_0=\beta /\gamma$. Требуется привести $R_{\mathrm{eff}}=\frac{\beta S}{\gamma N}$ ниже 1, чтобы эпидемия затухла.
- Локдауны действуют мгновенно на $\beta$ и снижают пик/ускоряют спад при достаточном снижении, но временные ограничения дают лишь отсрочку, если не сопровождать вакцинацией или длительным ограничением.
- Вакцинация уменьшает $S$ и даёт устойчивый эффект: при покрытии выше $p_c$ крупная эпидемия невозможна.
Если нужно, могу: 1) привести численную интеграцию (графики I(t), S(t), R(t)) для указанных параметров; 2) показать сценарии «локдаун без вакцинации», «локдаун + вакцинация», «разные уровни вакцинации».