Кратко и по делу.
Определение ПИД (во времени и в области Лапласа):
$$u(t)=K_{p}e(t)+K_i{\int }_0^{t}e(\tau )d\tau +K_d\frac{de(t)}{dt},G_c(s)=K_p+\frac{K_i}{s}+K_{d}s.$$
Влияние коэффициентов на устойчивость и переходный процесс:
- $K_p$ — пропорциональная: увеличивает скорость реакции и уменьшает время подъёма; повышает усиление замкнутой петли, уменьшает запас по устойчивости (gain margin), увеличивает перерегулирование и может вызвать устоявшиеся колебания (переход корней ближе к мнимой оси).
- $K_i$ — интегральная: устраняет статическую ошибку; добавляет полю «в ноль» (первый порядок интегрирования), замедляет систему, увеличивает перерегулирование и ухудшает устойчивость (увеличивает вероятность колебаний и интегрального «wind‑up» при насыщении).
- $K_d$ — дифференциальная: даёт демпфирование, снижает перерегулирование и ускоряет затухание колебаний; чувствителен к шуму (усиливает ВЧ), поэтому требует фильтрации; слишком большой $K_d$ без фильтрации может возбуждать высокочастотные нестабильности.
Практические меры: добавить анти‑виндап для интеграла, фильтр на дифференциал (например $K_{d}s/(1+\tau s)$) и ограничения по управляющему сигналу.
Автотюнинг — рекомендуемый метод (быстрый и надёжный): релейный (Åström–Hägglund) + корректирующие правила.
Алгоритм релейного автотюнинга:
1. Заменить контроллер реле с амплитудой отклика $h$ (симметричное реле), включить его и добиться устойчивых автоколебаний в выходе.
2. Измерить период колебаний $T_u$ и амплитуду выходной колебательной составляющей $a$.
3. Вычислить «предельное» усиление (ultimate gain):
$$K_u=\frac{4h}{\pi a}.$$ 4. Получив $K_u$ и $T_u$, применить формулы настройки (например, Зиглера–Николса для начальной настройки PID):
$$K_p=0.6K_u,T_i=0.5T_u,T_d=0.125T_u.$$ (Эти настройки дают быструю реакцию, но часто с заметным перерегулированием; для более мягкой работы используйте консервативные правила: IMC‑PID или Tyreus–Luyben.)
Альтернативный, более точный подход:
- Идентифицировать модель (например, аппроксимировать как First/Second order plus dead time: $G(s)=\frac{K}{(Ts+1)}{e}^{-Ls}$ или вторая степень) с помощью ступенчатого воздействия или PRBS.
- На её основе вычислить оптимальные параметры по критерию (ITAE/IAE/ISE) или использовать IMC‑PID для требуемого запаса устойчивости:
- минимизация ITAE даёт малое перерегулирование и быстрый спад колебаний;
- оптимизацию можно выполнять численно (Nelder‑Mead, CMA‑ES, Bayesian optimization) на замкнутой модели, учитывая ограничения и шум.
Рекомендации по внедрению:
- Сначала релейный автотюн для рабочего приближения; затем идентификация и оптимизация по критерию (ITAE) для финальной настройки.
- Всегда применять фильтр дифференциала и анти‑виндап; ограничивать управляющее действие и проверять чувствительность к шуму.
- Тестировать настройки на моделируемой/безопасной среде перед выводом в реальный режим.
Если нужно — приведу пошагово команды для релейного теста, формулы IMC‑PID для модели 1. порядка с запаздыванием или пример численной оптимизации по ITAE.