Кратко и по сути: структура модели, набор параметров (с обозначениями), как оценивать достоверность и какие эксперименты чувствительности проводить.
1) Структура модели (ключевые идеи)
- Агентный SIR-подобный с дневной миграцией: каждый агент имеет дом (ночь) и место дневной активности (работа/школа/соц. места). Контакты формируются по месту пребывания в каждый момент времени.
- Заболевание: стадии (подверженность → латентность → инфекционный → выздоровление/серьёзное/умир). Учесть бессимптомных и симптомных с разной заразностью.
- Вакцинация: статус у каждого агента (доза, время вакцинации, эффективность, угасание).
- Контактная неоднородность: домохозяйства, работа/учёба, случайные контакты, распределение степени контактов и сверхраспространители.
2) Основные параметры (с обозначениями)
- Демография:
- общее население $N$,
- возрастная структура $ag{e}_a$ для агента $a$,
- домохозяйственные группы.
- Миграция/мобильность:
- матрица потоков/вероятностей дневного перемещения $M_{ij}(t)$ (доля жителей района $i$, проводящих день в месте $j$),
- доля ежедневных мигрантов/коммутеров $m$.
- Контакты:
- матрица контактов по возрасту/месту $C_{ab}^{setting}$ (контакты между возрастами $a,b$ в сеттинге),
- среднее число контактов в сеттинге $c_{setting}$,
- распределение степеней (напр. отрицательное биномиальное с дисперсией/параметром перегруппировки $k_{disp}$).
- Трансмиссия и натура болезни:
- вероятность передачи при контакте $p_{trans}$ (можно разделить на $p_{home},p_{work},p_{community}$),
- профиль заразности во времени $g(t)$,
- средняя продолжительность латентного периода ${\tau }_L$ и инфекционного периода ${\tau }_I$ (или скорости $\sigma =1/{\tau }_L,\gamma =1/{\tau }_I$),
- доля бессимптомных $\alpha$ и их относительная заразность $\rho$.
- Вакцинация:
- покрытие по возрастам $v_a(t)$,
- эффективность по механизмам: против заражения $V{E}_s$, против передачи $V{E}_i$, против симптомов/тяжести $V{E}_d$,
- скорость выведения иммунитета/усадка эффективности (ванинг) $\omega$.
- Интервенции и поведение:
- вероятность выявления/тестирования $p_{test}$, задержка теста ${\Delta }_{test}$,
- доля изоляции/карантина $p_{iso}$ и эффективность снижения контактов.
- Инициация:
- число и размещение первичных случаев $I_0$, время начала.
3) Математическая формулировка силы инфекции (пример)
- Для агента $a$ в момент $t$ сила инфекции (приближенно):
$${\lambda }_a(t)=1-\prod _{s\in S_a(t)}\prod _{b\in contact{s}_s(a,t)}(1-p_{trans}^s\cdot {\chi }_b(t)),$$ где $S_a(t)$ — сеттинги (дом, работа, общество), $p_{trans}^s$ — вероятность передачи в сеттинге $s$, ${\chi }_b(t)$ — заразность контакта $b$ (включая эффекты вакцины: ${\chi }_b(t)=I_b(t)\cdot (1-V{E}_i^{(b)})\cdot g_b(t)$).
4) Оценка достоверности (валидация и калибровка)
- Данные для калибровки: временные ряды подтверждённых случаев, госпитализаций, смертей, серопревалентность, мобильность (анонимные данные), данные по вакцинaции.
- Методы калибровки:
- байесовский подход (MCMC/SMC/Particle Filter) или Approximate Bayesian Computation (ABC) для стохастической модели,
- оптимизация по правдоподобию (если возможно) или минимизация ошибки (RMSE/MAE) между наблюдением и медианой/квантили симуляций.
- Метрики качества:
- RMSE/MAE по времени для случаев/госпитализаций,
- покрытие доверительных интервалов (проверить, что реальные данные попадают в, например, 95% предсказательный интервал),
- логарифмический правдоподобный скор или WAIC/BIC для сравнительных моделей.
- Проверки:
- posterior predictive checks (генерировать данные из апостериорного распределения и сравнить с наблюдаемыми),
- кросс-валидация по временным окнам (fit на раннем периоде, проверить на holdout),
- чувствительность к начальному посеву (размещение I_0).
- Идентифицируемость параметров:
- профильные вероятности, корреляции параметров; фиксировать плохоидентифицируемые параметры по данным из литературы.
5) Учет неопределённости
- Выполнять много стохастических прогонов ($\ge 200$, для точности оценки квантилей — $\sim 500$–$1000$ при ресурсах).
- Отчёт интервалов: медиана и $95\%$ предсказательные интервалы для ключевых выходов.
6) Эксперименты по проверке чувствительности (рекомендуемые)
- Локальная/единичная чувствительность:
- поочерёдная варьировка ключевых параметров на ±$10\%$, ±$20\%$: $p_{trans},{\tau }_I,{\tau }_L,V{E}_s,V{E}_i,m,k_{disp}$.
- Глобальная чувствительность:
- Latin Hypercube Sampling (LHS) + Partial Rank Correlation Coefficients (PRCC),
- Sobol-индейсы для оценки вкладов в дисперсию выхода (attack rate, peak incidence, time-to-peak).
- Сценарные анализы:
- вариация дневной миграции: уменьшить/увеличить $m$ на фиксированные множители (напр. $0.5\times ,1\times ,2\times$),
- вакцинные стратегии: приоритет по возрасту vs. по степени контактов vs. равномерно; смена покрытия $v_a$ (0–100%),
- изменение VE (варианты возмущения: снижение эффективности на $20\%$, полный уход эффективности),
- влияние сверхраспространителей: варьировать $k_{disp}$ (переход от пуассоновского к сильно скошенному),
- вмешательства: закрытие школ/работа на удалёнке (редукция $c_{setting}$), тестинг/изоляция (увеличение $p_{test},p_{iso}$).
- Робастность к структурным допущениям:
- заменять реализацию контактов (полносвязная случайная встреча vs. сетевой граф vs. матрица контактов) и смотреть изменение выводов.
- Чувствительность к входным данным:
- варьировать начальное количество инфицированных $I_0$ и распределение по локациям,
- учесть задержки в отчётности/недоучёт (умножать данные наблюдения на фактор недооценки).
- Проверка стохастичности:
- запускать много реплик и оценивать CV (коэффициент вариации) ключевых выходов; если CV велик — выводы нестабильны.
7) Ключевые выходы для анализа
- Кумулятивная доля инфицированных (attack rate),
- Пик инцидентности и время до пика,
- Нагрузка на госпитали (если моделируется),
- Эффект вакцинации: случаи/госпитализации предотвращённые,
- Эволюция эффективного репродукционного числа $R_t$ (оценить из модели).
8) Практические рекомендации по реализации и проверке
- Начните с упрощённой модели (малые города, небольшой набор сеттингов) и постепенно добавляйте слои (вакцина, миграция, субпопуляции).
- Сохраняйте воспроизводимость: фиксируйте seed, версионируйте данные и код.
- Документируйте источники значений фиксируемых параметров (литература, локальные данные).
- Автоматизируйте набор экспериментов (скрипты для LHS/Sobol, сбор результатов) и визуализацию предсказательных интервалов.
Если нужно, могу дать конкретный перечень параметров с типичными диапазонами значений и пример плана экспериментов (LHS+Sobol) для заданного размера города.