Коротко и по делу — какие структуры/алгоритмы выбирать для очень разреженного динамического графа с частыми добавлениями/удалениями рёбер, и почему.
Структуры представления
- Адаптивные списки смежности (основа): для каждого вершины храните список соседей. Размер — $O(n+m)$ памяти, оптимален для разреженного графа.
- Для частых вставок/удалений и проверок существования используйте хеш‑контейнеры: например, массив контейнеров типа unordered_set (или robin‑hood hash) — вставка/удаление/проверка в среднем $O(1)$.
- Если важна быстрая и кеш‑дружественная итерация по соседям, храните вектор соседей и поддерживайте вспомогательную карту позиций (index map) для удаления через swap‑with‑last — обеспечивает амортизированное $O(1)$ вставку/удаление и очень быстрый проход.
- Глобальный индекс рёбер: хеш‑множество пар (u,v) для быстрых глобальных запросов наличия ребра и для атомарных операций.
- Для большого числа батч‑обновлений: delta‑слой + базовый CSR (компрессированный вид) с периодической перестройкой (rebuild) — амортизирует стоимость перестроек.
Поиск и алгоритмы над графом
- Простые обходы (BFS/DFS) при необходимости: сложность $O(n+m)$. Подходят для редких полных обходов.
- Частые локальные запросы (например, поиск пути между двумя вершинами в очень разреженном графе): используйте bidirectional BFS, A* (при наличии эвристик) или прерываемый поиск по уровню.
- Динамическая связность:
- Только вставки рёбер (инкрементально): Union‑Find (disjoint set) — амортизированно $O(\alpha (n))$ на операцию.
- Вставки+удаления (полностью динамическая связность):
- Для лесов/деревьев: Euler‑Tour Trees или Link‑Cut Trees (splay/треапы) — операции link/cut в $O(\log n)$.
- Для общих графов: алгоритм Holm, de Lichtenberg, Thorup (HDT) — поддержка связи в амортизированное $O({\log }^{2}n)$ на обновление; есть случайные/сложные варианты с близкими логарифмическими гарантиями.
- Динамические кратчайшие пути / SSSP / APSP: полностью динамические алгоритмы сложны и дорогостоящи; для невзвешенных графов есть decremental алгоритмы (Even‑Shiloach) с суммарной стоимостью $O(mn)$. Чаще практикуют:
- локальные обновления BFS/SSSP при небольших изменениях;
- приближённые/эвристические методы или поддержание спаннера/скетчей для быстрых приближённых ответов.
- Динамическое MST и индуцированные структуры: для лесов используйте link‑cut; для MST в общем графе — сочетание структур уровня ( топ‑подходы Eppstein, Holm и пр.).
Практические рекомендации/тюнинг
- Если критичны скорости вставок/удалений и проверки смежности — используйте per‑vertex hash set + глобальный hash для рёбер.
- Если критична скорость итерации по соседям (например, частый BFS) — вектор соседей + позиционная карта (swap‑remove).
- Если операции выполняются батчами — собирайте изменения в дельту и периодически перестраивайте CSR для оптимальной плотности и кеша.
- Для параллелизма — шардирование по вершинам и конкурентные хеш‑контейнеры; избегайте глобальных блокировок.
- Для ограничений по памяти используйте компактные хеши/pack структуры; для экстремально больших графов — внешний/стриминг‑подход.
Краткий итог (рекомендация по-умолчанию)
- Очень разреженный, часто изменяемый граф: per‑vertex hash set (или robin‑hood unordered_set) + глобальный hash множества рёбер; для динамической связности:
- если нужны только вставки — Union‑Find;
- если нужны удаления — Euler‑Tour / Link‑Cut (для лесов) или Holm‑et‑al. (для общих графов).
Если нужно, могу подобрать конкретные библиотеки/реализации на C++/Java/Python или оценить сложность по вашим n, m и паттерну обновлений.