1. Посылки: $(P\to Q)$, $(Q\to R)$, $\neg R$.
2. Из $(P\to Q)$ и $(Q\to R)$ по гипотетическому силлогизму получаем
$$(P\to R).$$
3. Чтобы вывести $\neg P$, используем доказательство от противного (¬-введение):
- Предположим временно $P$.
- Из $P$ и $(P\to R)$ по модус поненс получаем $R$.
- Но у нас есть $\neg R$, значит получаем противоречие $\perp$ (то есть $R$ и $\neg R$).
- Сняв предположение $P$, по правилу введения отрицания заключаем $\neg P$.
Итого: из $(P\to Q),(Q\to R),\neg R$ выводим $\neg P$.
Роль доказательства от противного: здесь оно служит правилом для получения отрицания — мы показываем, что предположение $P$ ведёт к противоречию с имеющейся посылкой $\neg R$, следовательно $P$ невозможно, т.е. $\neg P$. (Замечание: модус толленс — правило «из $(P\to R)$ и $\neg R$ вывести $\neg P$» — это сокращение вышеописанной схемы и само выводимо в исчислении.)