Кратко и по шагам — как я бы формально верифицировал критическую часть кода (на примере протокола распределённого консенсуса), какие методы применять и как связать доказательство с реальной реализацией.
1) Формализация требований
- Разделить требования на safety и liveness.
- Пример safety (Agreement): $\forall p,q{\text{decided}}_p={\text{decided}}_q$.
- Пример validity: если все предложили $v$, то решение равно $v$.
- Пример liveness (eventual decision for non-faulty): $\forall p\text{nonfaulty}(p)\Rightarrow ◊{\text{decided}}_p$.
- Записать спецификацию в формальном языке (TLA+, I/O‑automata, Promela, Alloy, или логика в Coq/Isabelle).
2) Поиск ошибок через модель‑чекер
- Модель‑чекать абстрактную, конечную версию протокола (TLC для TLA+, SPIN, PRISM для вероятностных свойств).
- Цель: быстро поймать дизайн‑ошибки и найти counterexamples на небольших конфигурациях.
- Ограничение: state‑space explosion, конечные размеры.
3) Доказательство общности через автоматические/интерактивные теоремники
- Для доказательства корректности для произвольного числа узлов использовать теоремник (Isabelle/HOL, Coq, Lean) или инструментальные фреймворки (Verdi — Coq, Ivy, Dafny, Why3).
- Методы: индуктивные инварианты, симуляции (forward/backward), rely/guarantee, композitionalные доказательства.
- Формальные обязательства симуляции: завести отношение соответствия $R(s_{\text{impl}},s_{\text{spec}})$ и доказать:
- начальное соответствие: $R(s_{i0},s_{s0})$,
- сохранение при шагах: если $R(s_i,s_s)$ и $s_i\to s_i^{\prime }$ то существует $s_s^{\prime }$ такая, что $s_s\to s_s^{\prime }$ и $R(s_i^{\prime },s_s^{\prime })$.
4) Как доказывать liveness
- Использовать аргументы на основе справедливости и measure/well‑founded ordering; в теоремниках формализовать temporal reasoning ($\square ,◊$).
- Для случайных/вероятностных протоколов применять probabilistic model checking (PRISM) или формализовать вероятность в Coq/Isabelle.
5) Параметризуемость (нефиксированное число узлов)
- Подходы: cut‑off техники, inductive proofs по числу узлов, симметрия/абстракция (counter abstraction), доказательства, не зависящие от конкретного $N$.
- Использовать комбинаторные леммы и инварианты, сохраняющиеся при добавлении узлов.
6) Связывание доказательства со реальной реализацией
- Общие стратегии:
1. Высокоуровневая спецификация → несколько шагов уточнения (refinement) → реализация. Доказывать корректность каждого шага (рефайнмент‑связь).
- Формула для отношения: $R(s_{\text{impl}},s_{\text{spec}})$ и симуляция (см. выше).
2. Экстракция кода из теоремника: писать реализацию в Coq/Isabelle и извлечь OCaml/Haskell/Scala — минимизируется семантический разрыв.
3. Верификация исходного кода: оставлять реализацию на целевом языке (C/Go/Rust) и проверять её с помощью инструментов (VST для C + CompCert; Prusti или RustHorn для Rust; Dafny/Why3 для языков с аннотациями).
4. Использовать сертифицированный компилятор или translation validation (CompCert) чтобы гарантировать соответствие машинного кода.
- Примеры цепочки инструментов:
- Спефикация в TLA+ + TLC (быстрая отладка).
- Формализация алгоритма в Coq (Verdi) — доказательство safety/liveness.
- Экстракция в OCaml и компиляция через CompCert/сертифицированный путь либо вручную верифицированная реализация на C, проверяемая VST.
- Итоговая проверка бинарника через BMC/translation validator.
7) Особенности для атакующих/Byzantine моделей
- Смоделировать противника как scheduler/адаверсар (I/O‑automata, TLA+, Coq).
- Доказательства инвариантов должны учитывать непредсказуемые действия злоумышленников; часто нужна композиционная аргументация о пределах вреда.
8) Практические рекомендации и меры доп. уверенности
- Комбинация методов: модель‑чек для поиска багов + интерактивный теоремник для общих доказательств.
- Автоматизированные тесты, property‑based тестирование, fuzzing сетевого стека.
- Runtime monitors и лог‑сбор для проверки соблюдения ключевых инвариант на проде.
- Рецензирование спецификаций и проверка мета‑доказательств (peer review, proof scripts в CI).
Краткое резюме: используйте TLA+/model checking для раннего поиска ошибок; затем формализуйте алгоритм и докажите индуктивные инварианты и симуляцию в теоремнике (Coq/Isabelle/Verdi) для общей корректности; связку со справжней реализацией обеспечивайте через refinement/экстракцию или верификацию исходного кода + сертифицированный компилятор и runtime‑валидацию. Такой гибридный подход даёт наилучшее соотношение практичности и формальной уверенности.