Краткая формализация задачи
- Сеть: граф $G=(V,E)$, $|V|=n$. Вес влияния по ребру $i\to j$: $w_{ij}\ge 0$. Внешние источники/медиа — процесс ${\mu }_j(t)$.
- Состояние узла $i$ в момент $t$: например для эпидемии/информации дискретный набор состояний $X_i(t)\in \{\text{S},\text{I},\text{R}\}$ или бинарная активность $A_i(t)\in \{0,1\}$.
- Цель: смоделировать динамику $\{X_i(t){\}}_{i\in V}$ с учётом влияния соседей и обратной связи (реинфорсмента, глобальной популярности) и оценить параметры по данным.
Общие конструкции переходов (формулы в KaTeX)
- Независимая каскадная модель (discrete-time IC): при активации $i$ в момент $t$ ход попытки заразить $j$ с вероятностью $p_{ij}$:
$$\mathrm{Pr}(A_j(t+1)=1\mid A_j(t)=0)=1-\prod _{i:A_i(t)=1}\left(1-p_{ij}\right).$$ - Линейный порог (threshold): $j$ активируется, если накопл. влияние превышает порог:
$$A_j(t+1)=1\text{если}\sum _i{w}_{ij}{A}_i(t)\ge {\theta }_j.$$ - SIR (mean-field ODE) на взвешенном графе:
$$\frac{d{S}_i}{dt}=-\beta S_i\sum _j{a}_{ij}{I}_j,\frac{d{I}_i}{dt}=\beta S_i\sum _j{a}_{ij}{I}_j-\gamma I_i,\frac{d{R}_i}{dt}=\gamma I_i.$$ - Непрерывно-временные процессы / Hawkes-процесс (самовозбуждение, модель обратной связи):
$${\lambda }_i(t)={\mu }_i(t)+\sum _j{\int }_0^t{\varphi }_{ji}(t-s)d{N}_j(s),$$ где $N_j(t)$ — счётчик событий у $j$, ${\varphi }_{ji}$ — ядро влияния (усиление от прошлых событий).
- Случай с накоплением экспозиций (reinforcement):
$$x_j(t)=\sum _i{\int }_0^t{w}_{ij}K(t-s)d{N}_i(s),\mathrm{Pr}(A_j(t)=1)\propto f(x_j(t),P(t)),$$ где $K$ — затухающее ядро, $f$ — нелинейная функция чувствительности, $P(t)$ — глобальная популярность (обратная связь).
Выбор модели и когда её применять
- Независимая каскада (IC) — простая, подходит если каждый контакт даёт одноразовую попытку передачи, нет восстановления/повтора. Хороша для информационных «репостов».
- Линейный порог — для «сложных» заражений, когда нужен суммарный эффект нескольких соседей (социальное подкрепление).
- SIR / SIS — для классических эпидемий с восстановлением/временной заразностью; удобны в среднегеометрических/ODE-оценках.
- Hawkes / непрерывные модели — если есть явная временная кластеризация и эффект самовозбуждения (вирусные пики, повторные репосты); естественно моделируют обратную связь и внешние всплески ${\mu }_i(t)$.
- Агенто‑ориентированные (ABM) — когда нужны сложные индивидуальные правила, память, адаптация, разные реакции на популярность и обратная связь; дороже вычислительно, но гибче.
Учёт обратной связи и влияния узлов
- Узловая влиятельность: глобальные веса/степени, либо параметры $w_{ij}$ и персональные пороги ${\theta }_i$.
- Обратная связь (feedback): включать зависимость параметров от глобальных/локальных метрик, например
$$p_{ij}(t)=p_{ij}^0\cdot (1+\alpha P(t)),P(t)=\frac{1}{n}\sum _k{A}_k(t)$$ или усиление через Hawkes-ядро $\varphi$.
- Адаптация поведения: параметры могут зависеть от истории $H_i(t)$ (усталость, иммунитет): $p_{ij}(t)=g(H_i(t))$.
Валидация и оценивание в зависимости от доступных данных
1) Полные каскады с временными метками и известной сетью (наилучший случай).
- Методы: максимальное правдоподобие (CTIC, Hawkes MLE), градиентные методы, регуляризация.
- Метрики: log‑likelihood, RMSE времён инфицирования, AUC по предсказанию кто заразил кого, распределение размеров каскадов (KS).
- Рекомендация: train/validation по времени (обучение на ранних каскадах, тест на поздних).
2) Времена активации без известной сетевой структуры.
- Методы: инференция сети + скоростей (EM, L1-регуляризованные MLE для Hawkes), байесовские модели.
- Ограничения: идентифицируемость — сложно отделить внешние источники $\mu$ и внутреннее влияние.
- Валидировать: предсказание времён, лог‑правдоподобие, восстановление известных подсетей.
3) Только снимки/агрегаты (считанные числа активных в моменты времени).
- Методы: подгонка ODE/mean-field, moment-matching, ABC (Approximate Bayesian Computation).
- Метрики: RMSE по агрегатам, спектры/пики активности, распределение длительностей волн.
4) Частично наблюдаемые каскады (пропуски, нет таймстемпов).
- Методы: data augmentation (MCMC), EM, имитационное моделирование ABM с approximate likelihood.
- Валидация через синтетические эксперименты (инъекции известных вспышек), параметрическую чувствительность.
Практические замечания и риски
- Конфузия влияние/гомофилия: корреляция в поведении не всегда означает передачу — нужно модель с внешним слоем $\mu (t)$ или контрольными ковариатами.
- Идентифицируемость: при нехватке данных многие параметры не уникальны; регуляризация и простые модели предпочтительны.
- Выбор масштаба: для больших сетей используйте беспараметрические (Hawkes с низкоразмерными ядрами) или агрегированные ODE; для микродинамики — ABM.
- Валидация: обязательна out-of-sample проверка по времени и проверка воспроизведения ключевых стат. свойств (размер каскадов, длительность, распределения степеней заражений).
Короткая рекомендация по этапам работы
- Выбрать модель по природе contagion (простая IC/threshold для репостов, SIR для биологического заражения, Hawkes/ABM для обратной связи).
- Формализовать параметры: $w_{ij},p_{ij},{\theta }_i,{\mu }_i(t),{\varphi }_{ji}(\cdot )$.
- Оценивать по доступным данным выбранными методами (MLE/EM/ABC), контролируя идентифицируемость и используя регуляризацию.
- Валидировать по лог‑правдоподобию, предсказанию времён/узлов и воспроизведению распределений каскадов.
Если нужно, могу дать конкретную формулировку функции правдоподобия для выбранной модели (CTIC, Hawkes) и алгоритм оценивания по конкретному типу данных.