A.

Из условия задачи следует, что для любого натурального числа x выполнено неравенство:

(x ∈ {2,4,8,12,15}) → (¬(x ∈ {3,6,8,15}) ∨ (x ∈ A))

Давайте рассмотрим все возможные значения переменной x:

x = 2
Неравенство становится:

(2 ∈ {2,4,8,12,15}) → (¬(2 ∈ {3,6,8,15}) ∨ (2 ∈ A))
True → (True ∨ (2 ∈ A))
Так как выражение истинно, значит, что 2 ∈ A.

x = 4
Неравенство становится:

(4 ∈ {2,4,8,12,15}) → (¬(4 ∈ {3,6,8,15}) ∨ (4 ∈ A))
True → (True ∨ (4 ∈ A))
Так как выражение истинно, значит, что 4 ∈ A.

x = 8
Неравенство становится:

(8 ∈ {2,4,8,12,15}) → (¬(8 ∈ {3,6,8,15}) ∨ (8 ∈ A))
True → (False ∨ (8 ∈ A))
Так как выражение истинно для любого x, включая 8, должно быть False ∨ (8 ∈ A), значит 8 ∈ A.

x = 12
Неравенство становится:

(12 ∈ {2,4,8,12,15}) → (¬(12 ∈ {3,6,8,15}) ∨ (12 ∈ A))
True → (True ∨ (12 ∈ A))
Так как выражение истинно, значит, что 12 ∈ A.

x = 15
Неравенство становится:

(15 ∈ {2,4,8,12,15}) → (¬(15 ∈ {3,6,8,15}) ∨ (15 ∈ A))
True → (False ∨ (15 ∈ A))
Так как выражение истинно для любого x, включая 15, должно быть False ∨ (15 ∈ A), значит 15 ∈ A.

Таким образом, наименьшее возможное значение произведения элементов множества A равно 2 4 8 12 15 = 1440.