Для того чтобы найти сколько единиц в двоичной записи данного числа, нужно разложить каждое слагаемое на множители и посмотреть их двоичное представление.

$16^{1000}$:
$16 = 2^4$, поэтому $16^{1000} = (2^4)^{1000} = 2^{4000}$.
В двоичной системе счисления $2^{10} = 1024 = 2^{10}-2^4 = 2^4*(2^6 - 1) = 10000000000_2$.
Таким образом, $2^{4000}$ будет содержать 4000 единиц.

$4^{500}$:
$4 = 2^2$, поэтому $4^{500} = (2^2)^{500} = 2^{1000}$.
Мы уже вычисляли, что $2^{10} = 1024 = 10000000000_2$, поэтому $2^{1000}$ содержит 1000 единиц.

$-2^{250}$:
$-2^{250}$ равно $-1 * 2^{250}$.
$-1$ в двоичной записи это все единицы: $-1 = 111...111_2$.
$2^{250}$ содержит 250 единиц, а значит $-2^{250}$ также содержит 250 единиц.

$3$
$3 = 11_2$ содержит 2 единицы.

Итак, суммируя количество единиц во всех слагаемых, получаем:
$4000 + 1000 + 250 + 2 = 5252$.

Итак, в двоичной записи числа $16^{1000}+4^{500}-2^{250}+3$ содержится 5252 единицы.