Двузначные числа, удовлетворяющие условию задачи, это такие числа, у которых сумма цифр делится на любое из чисел от 2 до 9 без остатка.

Посмотрим на все возможные варианты двузначных чисел:

10 - не подходит, т.к. сумма цифр равна 1, которая не делится нацело на 2,3,4,5,6,7,8,9
11 - не подходит, так как сумма цифр равна 2, которая тоже не делится нацело на 2,3,4,5,6,7,8,9
12 - не подходит, так как сумма цифр равна 3, которая не делится нацело на 2,3,4,5,6,7,8,9
13 - подходит, так как сумма цифр равна 4, и 4 делится нацело на 2
14 - не подходит, так как сумма цифр равна 5, которая не делится нацело на 3
15 - не подходит, так как сумма цифр равна 6, которая не делится нацело на 3
16 - не подходит, так как сумма цифр равна 7, которая не делится нацело на 2,4
17 - не подходит, так как сумма цифр равна 8, которая не делится нацело на 2
18 - подходит, так как сумма цифр равна 9, и 9 делится нацело на 3
19 - не подходит, так как сумма цифр равна 10, которая не делится нацело на 2,5
20 - не подходит и так далее

Таким образом, двузначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножении числа на 2,3,4,5,6,7,8,9, это 13, 18.