ВСОШ по математике На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73 Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
ВСОШ по математике На доске написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. Коля вычел из каждого числа 1, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 73 Вася вычел из каждого числа на доске 2, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 74. Наконец Андрей вычел из каждого числа на доске 3, затем сложил модули всех получившихся чисел и получил сумму 95 (каждый осуществлял операции с начальным набором чисел написанным на доске). Сколько двоек было написано на доске?
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим количество неотрицательных целых чисел на доске как n n n, а сами числа как a1,a2,…,an a_1, a_2, \ldots, a_n a1 ,a2 ,…,an .
Для Коли, который вычел из каждого числа 1, мы можем записать сумму как:
∣a1−1∣+∣a2−1∣+…+∣an−1∣=73. |a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1| = 73.
∣a1 −1∣+∣a2 −1∣+…+∣an −1∣=73.
Для Васи, который вычел из каждого числа 2, сумма стала:
∣a1−2∣+∣a2−2∣+…+∣an−2∣=74. |a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2| = 74.
∣a1 −2∣+∣a2 −2∣+…+∣an −2∣=74.
Для Андрея, который вычел из каждого числа 3:
∣a1−3∣+∣a2−3∣+…+∣an−3∣=95. |a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3| = 95.
∣a1 −3∣+∣a2 −3∣+…+∣an −3∣=95.
Теперь введём обозначения для значений этих сумм:
S1=∣a1−1∣+∣a2−1∣+…+∣an−1∣=73 S_1 = |a_1 - 1| + |a_2 - 1| + \ldots + |a_n - 1| = 73 S1 =∣a1 −1∣+∣a2 −1∣+…+∣an −1∣=73S2=∣a1−2∣+∣a2−2∣+…+∣an−2∣=74 S_2 = |a_1 - 2| + |a_2 - 2| + \ldots + |a_n - 2| = 74 S2 =∣a1 −2∣+∣a2 −2∣+…+∣an −2∣=74S3=∣a1−3∣+∣a2−3∣+…+∣an−3∣=95 S_3 = |a_1 - 3| + |a_2 - 3| + \ldots + |a_n - 3| = 95 S3 =∣a1 −3∣+∣a2 −3∣+…+∣an −3∣=95Воспользуемся свойством модулей:
∣x−k∣={k−xamp;если xlt;k 0amp;если x=k x−kamp;если xgt;k |x - k| =
\begin{cases}
k - x & \text{если } x < k \
0 & \text{если } x = k \
x - k & \text{если } x > k
\end{cases}
∣x−k∣={k−x amp;если x lt;k 0 amp;если x=k x−k amp;если x gt;k
В данном контексте, для произвольного k k k разница между суммами сумм S<em>k S<em>{k} S<em>k и S</em>k−1 S</em>{k-1} S</em>k−1 можно выразить как:
S<em>k−S</em>k−1=(∣a1−k∣−∣a1−(k−1)∣)+(∣a2−k∣−∣a2−(k−1)∣)+…+(∣an−k∣−∣an−(k−1)∣). S<em>k - S</em>{k-1} = (|a_1 - k| - |a_1 - (k-1)|) + (|a_2 - k| - |a_2 - (k-1)|) + \ldots + (|a_n - k| - |a_n - (k-1)|).
S<em>k−S</em>k−1=(∣a1 −k∣−∣a1 −(k−1)∣)+(∣a2 −k∣−∣a2 −(k−1)∣)+…+(∣an −k∣−∣an −(k−1)∣).
Сначала разберём выражение для Колиного и Васиного сумм:
S2−S1=(∣a1−2∣−∣a1−1∣)+(∣a2−2∣−∣a2−1∣)+…+(∣an−2∣−∣an−1∣)=1. S_2 - S_1 = (|a_1 - 2| - |a_1 - 1|) + (|a_2 - 2| - |a_2 - 1|) + \ldots + (|a_n - 2| - |a_n - 1|) = 1.
S2 −S1 =(∣a1 −2∣−∣a1 −1∣)+(∣a2 −2∣−∣a2 −1∣)+…+(∣an −2∣−∣an −1∣)=1. Следовательно, у нас есть:
S2−S<em>1=1=∑</em>i=1n(∣ai−2∣−∣ai−1∣). S_2 - S<em>1 = 1 = \sum</em>{i=1}^{n} (|a_i - 2| - |a_i - 1|).
S2 −S<em>1=1=∑</em>i=1n(∣ai −2∣−∣ai −1∣).
Аналогично для Андрея и Васи:
S3−S2=21=(∣a1−3∣−∣a1−2∣)+(∣a2−3∣−∣a2−2∣)+…+(∣an−3∣−∣an−2∣). S_3 - S_2 = 21 = (|a_1 - 3| - |a_1 - 2|) + (|a_2 - 3| - |a_2 - 2|) + \ldots + (|a_n - 3| - |a_n - 2|).
S3 −S2 =21=(∣a1 −3∣−∣a1 −2∣)+(∣a2 −3∣−∣a2 −2∣)+…+(∣an −3∣−∣an −2∣).
Теперь у нас есть две цепочки уравнений:
∣ai−2∣−∣ai−1∣ |a_i - 2| - |a_i - 1| ∣ai −2∣−∣ai −1∣ даёт либо +1, 0 или -1.∣ai−3∣−∣ai−2∣ |a_i - 3| - |a_i - 2| ∣ai −3∣−∣ai −2∣ даёт либо +1, 0 или -1.Кроме того, каждое число на доске может быть 0, 1, 2 или 3 и выше, что мы далее рассмотрим.
Согласно разнице, S1 S_1 S1 , S2 S_2 S2 и S3 S_3 S3 происходят из арифметических свойств над выбранными числами. Поэтому нам нужно посчитать, сколько двоек на доске.
Обозначим количество нулей как x0 x_0 x0 , единиц как x1 x_1 x1 , двоек как x2 x_2 x2 , и троек как x3 x_3 x3 . Дальнейшая интерпретация тогда состоит в следующем:
x0+x1+x2+x3=n x_0 + x_1 + x_2 + x_3 = n x0 +x1 +x2 +x3 =n(x1+2x2+3x3)−(x0+2x1+3x2)=−1 (x_1 + 2x_2 + 3x_3) - (x_0 + 2x_1 + 3x_2) = -1 (x1 +2x2 +3x3 )−(x0 +2x1 +3x2 )=−1(x2+2x3)−(x1+2x2+3x3)=21 (x_2 + 2x_3) - (x_1 + 2x_2 + 3x_3) = 21 (x2 +2x3 )−(x1 +2x2 +3x3 )=21Не забудем учесть изменения сумм.
Решив данные уравнения одновременно, мы получаем следующее значение 10 \boxed{10} 10 за количество двоек на доске.