Для нахождения минимального значения выражения a/b + b/a можно воспользоваться неравенством между арифметическим и геометрическим средними двух положительных чисел:

Из неравенства между арифметическим и геометрическим средними: (a + b)/2 >= √(ab)

Умножим обе части неравенства на 2:

a + b >= 2√(ab)

Теперь добавим a^2 + 2ab + b^2 к обеим частям неравенства:

a^2 + 2ab + b^2 + 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + b^2 + 2ab + 2√(ab)^2

a^2 + 2ab + b^2 + 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + b^2 + 2ab + 2ab

3a^2 + 3b^2 >= 4ab

Поделим обе части неравенства на 3ab:

(a^2 + b^2) / ab >= 4/3

Так как (a^2 + b^2) / ab = (a/b)^2 + (b/a)^2, то выражение превращается в:

(a/b)^2 + (b/a)^2 >= 4/3

Теперь добавим 2(a/b)(b/a) = 2 к обеим частям:

(a/b)^2 + 2(a/b)(b/a) + (b/a)^2 >= 2 + 4/3

(a/b + b/a)^2 >= 10/3

Теперь найдем корень из обеих сторон:

a/b + b/a >= sqrt(10/3)

Таким образом, минимальное значение a/b + b/a равно sqrt(10/3) = sqrt(30) / 3.