Для доказательства данного неравенства воспользуемся тригонометрическими преобразованиями:

sin(a) sin(2a) sin(3a) = sin(a) 2sin(a)cos(a) 3sin(a)cos^2(a)
= 6sin^2(a)cos(a)sin(a)
= 6sin^2(a)cos(a)

Так как sin^2(a) + cos^2(a) = 1, то sin^2(a) = 1 - cos^2(a)

Заменим sin^2(a) на (1 - cos^2(a)) в полученном выражении:

6(1 - cos^2(a))cos(a) = 6cos(a) - 6cos^3(a)
Построим график этой функции и найдем максимальное значение на промежутке [0, π/2]:
f'(a) = -6(1 - 3cos^2(a))
Найдем точку, где производная равна нулю:
-6(1 - 3cos^2(a)) = 0
1 - 3cos^2(a) = 0
3cos^2(a) = 1
cos^2(a) = 1/3
cos(a) = ±√(1/3)

Так как нужно искать значение на промежутке [0, π/2], то берем cos(a) = √(1/3)

Теперь подставим это значение обратно в наше выражение:

6cos(a) - 6cos^3(a) = 6√(1/3) - 6(√(1/3))^3
= 6/√3 - 6/(3√3)
= 6/√3 - 2/√3
= 4/√3
= 4√3/3

Таким образом, мы доказали, что sinasin2asin3a < 3/4.