Задача по геометрии Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов при вершинах A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов при вершинах C и D – в точке N. Найдите MN, если известно, что AB = a, BC = b, CD = c и AD = d.
Задача по геометрии Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов при вершинах A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов при вершинах C и D – в точке N. Найдите MN, если известно, что AB = a, BC = b, CD = c и AD = d.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Из свойств биссектрисы треугольника мы знаем, что AM/MD = AB/BD и BM/MC = AB/AC.
Таким образом, AM/MD = AB/BD = a/(c + d), а BM/MC = AB/AC = a/(b + c).
Из этих двух равенств можно выразить BD и AC:
BD = c + d - (a d) / a,
AC = b + c - (a b) / a.
Теперь применяем теорему Менелая к треугольнику MNC и получаем:
BM/MC AN/NC CD/DN = 1.
Подставляем известные значения:
(a/(b + c)) (AC/(BD + AC)) c = 1,
(a/(b + c)) ((b + c - (a b) / a) / (c + d - (a d) / a)) c = 1,
(a/(b + c)) ((b + c) / d) c = 1,
a (b + c) = d (b + c).
Таким образом, MN = d.