.

а) Для треугольника существует неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.
Проверим его для треугольника со сторонами 6см, 12см и 10см:
6 + 10 > 12, 6 + 12 > 10, 10 + 12 > 6
Так как все условия неравенства выполняются, то такой треугольник существует.

б) Для треугольника с такими сторонами: 8дм. (80см), 30см и 50см:
80 + 30 > 50, 80 + 50 > 30, 30 + 50 > 80
Так как в данном случае сумма двух кратчайших сторон (30см и 50см) больше длины третьей стороны (80см), то такой треугольник тоже существует.

Пусть сторона равнобедренного треугольника, равного 8см и 3см, равна х. Тогда получаем уравнение:
x + x > 8
2x > 8
x > 4
Таким образом, сторона равнобедренного треугольника должна быть больше 4см.

Поскольку у равнобедренного треугольника два угла равны, а сумма углов треугольника равна 180 градусов, то у нас есть два возможных случая:
а) Углы равнобедренного треугольника 500, 500 и х:
2*50 + x = 180
100 + x = 180
x = 80
Ответ: углы равны 50, 80, 50 градусов.
б) Углы равнобедренного треугольника 50, 50 и х:
50 + x + x = 180
50 + 2x = 180
2x = 130
x = 65
Ответ: углы равны 50, 65, 65 градусов.

Внешний угол при основании равен сумме внутренних углов при основании равнобедренного треугольника. Поскольку у равнобедренного треугольника углы при основании равны, то каждый из них равен 130/2 = 65 градусов. Таким образом, угол при вершине равнобедренного треугольника равен 180 - 65 = 115 градусов.