Для решения уравнения 8x^3 + 12x^2 - 12x - 15 = 0 можно воспользоваться различными методами, такими как метод подбора корней, метод Кардано или метод замены переменных.

Один из возможных методов решения данного уравнения - использование метода подбора корней. Начнем с того, что ищем целочисленный корень уравнения, подставляя различные целочисленные значения x и проверяя, является ли значение функции равным нулю. После того как нашли корень (пусть это будет x = 1), далее производим деление уравнения на x - 1:

8x^3 +12x^2 -12x -15 = 0
(x - 1)(8x^2 + 20x + 15) = 0

После деления и получения квадратного уравнения 8x^2 + 20x + 15 = 0, найдем его корни с помощью дискриминанта:

D = 20^2 - 4815 = 400 - 480 = -80

Так как дискриминант отрицателен, у квадратного уравнения нет корней в области действительных чисел. Тем не менее, уравнение 8x^3 + 12x^2 - 12x - 15 = 0 имеет хотя бы один вещественный корень x = 1.

Таким образом, корень данного уравнения составляет x = 1.