Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой синуса удвоенного угла:
sin 2θ = 2sinθcosθ

Применяя данную формулу, получаем:
sin 2A = 2sinAcosA
sin 2B = 2sinBcosB
sin 2C = 2sinCcosC

Теперь подставим данные выражения в исходное утверждение:
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2sinAcosA + 2sinBcosB + 2sinCcosC
= 2(sinAcosA + sinBcosB + sinCcosC)
= 2(sinA(B + C) + sinB(A + C) + sinC(A + B))
= 2(sinA(sinB + sinC) + sinB(sinA + sinC) + sinC(sinA + sinB))
= 2(sinA sinB + sinA sinC + sinB sinC)

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам (π радиан), то A + B + C = π.
Следовательно, sin(A + B) = sin(π - C) = sinC, sin(B + C) = sin(π - A) = sinA, sin(A + C) = sin(π - B) = sinB.

Теперь наша формула примет следующий вид:
2(sinA sinB + sinA sinC + sinB sinC) = 2(sinA sinB + sinA sinC + sinB sinC)
= 2 sinA(sinB + sinC) + 2 sinB sinC
= 2 sinA sin(π - A) + 2 sinB sinC
= 2 sinA sinA + 2 sinB sinC
= 4 sinA sinB sinC

Таким образом, мы доказали, что sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.