Наиболее простым способом решения этого уравнения является использование тригонометрических тождеств. Используем тождество двойного угла для sin(2x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x),

теперь подставим sin(2x) в уравнение:

2sin(x)cos(x) = sin(1/2 + x).

Теперь воспользуемся формулой суммы для синуса:

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b),

где a = 1/2 и b = x:

2sin(x)cos(x) = sin(1/2)cos(x) + cos(1/2)sin(x).

sin(1/2) = 1, cos(1/2) = 0 (так как sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0):

2sin(x)cos(x) = cos(x).

Теперь рассмотрим два случая:

1) cos(x) = 0: это означает, что x = π/2 + πn, где n - целое число.

2) cos(x) ≠ 0: делим обе части на cos(x):

2sin(x) = 1,

sin(x) = 1/2,

x = π/6 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, решения уравнения sin(2x) = sin(1/2 + x) это x = π/2 + πn и x = π/6 + 2πn.