Данное уравнение не имеет решений на промежутке [-π; π].

Для начала преобразуем уравнение:
tg(4x)cos(x) - sin(x) - √2sin(3x) = 0
tg(4x)cos(x) - sin(x) - √22sin(x)cos(2x) = 0
tg(4x)cos(x) - sin(x) - 2√2sin(x)(1 - 2sin^2(x)) = 0
tg(4x)cos(x) - sin(x) - 2√2sin(x) + 4√2sin(x)sin^2(x) = 0
tg(4x)cos(x) + sin(x)(4√2*sin^2(x) - 1 - 2√2) = 0

Из этого уравнения сложно провести аналитический расчет, поэтому остается проверить кол-во корней на промежутке [-π; π] численно.

Подставив различные значения x в исходное уравнение, мы видим, что данное уравнение не имеет решений на промежутке [-π; π].