Обозначим длины отрезков BK = x, KP = y и PC = z.
Так как окружность проходит через вершины B и C, то угол KBC = угол KCP = 90 градусов.
Тогда по теореме Пифагора для прямоугольных треугольников KBP и KCP:
KP^2 = x^2 + y^2
KP^2 = z^2 + y^2

Из того, что AP = 34 и BC = 2AB, получаем, что AC = 2AB + 34.
Тогда BK + KP + PC = AB + KP + PC = 2AB + 34
x + y + z = 2AB + 34

Так как угол KBC = 90 градусов, то AB^2 + BC^2 = AC^2
AB^2 + (2AB)^2 = (2AB + 34)^2
AB^2 + 4AB^2 - (2AB + 34)^2 = 0
5AB^2 - 4AB^2 - 68AB - 1156 = 0
AB^2 - 68AB - 1156 = 0
(AB - 34)^2 = 1300
AB - 34 = 36
AB = 70, BC = 140, AC = 204

Теперь подставляем найденные значения в уравнение x + y + z = 2AB + 34:
x + y + z = 140 + 34
x + y + z = 174

Так как у нас задача на три неизвестных (x, y и z), нам не хватает уравнений для решения.

Итак, длина отрезка KP (y) не может быть найдена без дополнительных данных.