Вариант 18 1. Даны векторы a {4; –2; –3}, b {–4; 2; –2}. а) Будут ли коллинеарными векторы c 4a 2b и d 2a b ? б) Вычислите 2c 3d . 2. А(8; 8; –3), В(–3; 1; –1), С(5; –3; 5). а) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD. б) На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С. 3. Докажите, что ABCD — ромб, если А(12; 7; 6), В(7; 9; –8), С(–4; –1; –10), D(1; –3; 4). 4. Найдите скалярное произведение a b , если: a 6, b 3, a;b 150. 5. При каком значении п векторы a {–5п; 4; –3} и b {1; –2; –п} будут перпендикулярными? 6. Найдите угол между векторами a {–4; 1; 1} и b {–1; –1; 0}.
Вариант 18 1. Даны векторы a {4; –2; –3}, b {–4; 2; –2}. а) Будут ли коллинеарными векторы c 4a 2b и d 2a b ? б) Вычислите 2c 3d . 2. А(8; 8; –3), В(–3; 1; –1), С(5; –3; 5). а) Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD. б) На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек В и С. 3. Докажите, что ABCD — ромб, если А(12; 7; 6), В(7; 9; –8), С(–4; –1; –10), D(1; –3; 4). 4. Найдите скалярное произведение a b , если: a 6, b 3, a;b 150. 5. При каком значении п векторы a {–5п; 4; –3} и b {1; –2; –п} будут перпендикулярными? 6. Найдите угол между векторами a {–4; 1; 1} и b {–1; –1; 0}.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
а) Векторы c = 4a - 2b и d = 2a - b будут коллинеарными, если они коллинеарны между собой, то есть один является кратным другого. Для этого найдем сначала коэффициенты пропорциональности:
4a - 2b = k2a−b2a - b2a−b
Раскроем скобки:
4a - 2b = 2ka - kb
Сравнивая координаты векторов, получаем систему уравнений:
4 = 2k
-2 = -k
Решив данную систему, найдем k:
k = 2
Таким образом, векторы c и d будут коллинеарными.
б) Найдем вектор 2c - 3d:
2c = 8a - 4b = 8<em>4−4</em>(−4);8<em>(−2)−4</em>2;8<em>(−3)−4</em>(−2)8<em>4 - 4</em>(-4); 8<em>(-2) - 4</em>2; 8<em>(-3) - 4</em>(-2)8<em>4−4</em>(−4);8<em>(−2)−4</em>2;8<em>(−3)−4</em>(−2) = 32+16;−16−8;−24+832 + 16; -16 - 8; -24 + 832+16;−16−8;−24+8 = 48;−24;−1648; -24; -1648;−24;−16
3d = 32a−b2a - b2a−b = 32<em>4−2</em>(−2);3∗(−2)−(−2);3(−3)−22<em>4 - 2</em>(-2); 3*(-2) - (-2); 3(-3) - 22<em>4−2</em>(−2);3∗(−2)−(−2);3(−3)−2 = 38+4;−6+2;−9+28 + 4; -6 + 2; -9 + 28+4;−6+2;−9+2 = 36;−4;−736; -4; -736;−4;−7
2c - 3d = 48;−24;−1648; -24; -1648;−24;−16 - 36;−4;−736; -4; -736;−4;−7 = 48−36;−24+4;−16+748 - 36; -24 + 4; -16 + 748−36;−24+4;−16+7 = 12;−20;−912; -20; -912;−20;−9
Итак, 2c - 3d = 12;−20;−912; -20; -912;−20;−9.
2.
а) Найдем координаты вершины D параллелограмма ABCD. Для этого сложим координаты вершины C с вектором CB:
D = C + CB = 5;−3;55; -3; 55;−3;5 + −3−(−3);1−(−3);−1−5-3 - (-3); 1 - (-3); -1 - 5−3−(−3);1−(−3);−1−5 = 5;−3;55; -3; 55;−3;5 + 0;4;−60; 4; -60;4;−6 = 5;1;−15; 1; -15;1;−1
Координаты вершины D равны 5;1;−15; 1; -15;1;−1.
б) Найдем точку на оси ординат, равноудаленную от точек B и C. Такая точка будет находиться на середине отрезка BC. Найдем середину отрезка по формуле:
M = B+CB + CB+C / 2 = (−3;1;−1)+(5;−3;5)(-3; 1; -1) + (5; -3; 5)(−3;1;−1)+(5;−3;5) / 2 = 2/2;−2/2;4/22/2; -2/2; 4/22/2;−2/2;4/2 = 1;−1;21; -1; 21;−1;2
Итак, точка на оси ординат, равноудаленная от точек B и C, имеет координаты 0;−1;00; -1; 00;−1;0.
Для доказательства того, что ABCD - ромб, нужно показать, что все его стороны равны между собой. Посчитаем длины сторон AB, BC, CD, и DA:
AB = sqrt(−3−7)2+(1−9)2+(−1−8)2(-3 - 7)^2 + (1 - 9)^2 + (-1 - 8)^2(−3−7)2+(1−9)2+(−1−8)2 = sqrt(−10)2+(−8)2+(−9)2(-10)^2 + (-8)^2 + (-9)^2(−10)2+(−8)2+(−9)2 = sqrt100+64+81100 + 64 + 81100+64+81 = sqrt245245245 BC = sqrt(5+3)2+(−3−1)2+(5+1)2(5 + 3)^2 + (-3 - 1)^2 + (5 + 1)^2(5+3)2+(−3−1)2+(5+1)2 = sqrt(8)2+(−4)2+(6)2(8)^2 + (-4)^2 + (6)^2(8)2+(−4)2+(6)2 = sqrt64+16+3664 + 16 + 3664+16+36 = sqrt116116116 CD = sqrt(1+4)2+(−3+1)2+(4+10)2(1 + 4)^2 + (-3 + 1)^2 + (4 + 10)^2(1+4)2+(−3+1)2+(4+10)2 = sqrt(5)2+(−2)2+(14)2(5)^2 + (-2)^2 + (14)^2(5)2+(−2)2+(14)2 = sqrt25+4+19625 + 4 + 19625+4+196 = sqrt225225225 DA = sqrt(8−12)2+(8−7)2+(−3−6)2(8 - 12)^2 + (8 - 7)^2 + (-3 - 6)^2(8−12)2+(8−7)2+(−3−6)2 = sqrt(−4)2+(1)2+(−9)2(-4)^2 + (1)^2 + (-9)^2(−4)2+(1)2+(−9)2 = sqrt16+1+8116 + 1 + 8116+1+81 = sqrt989898
Получили, что AB = CD = sqrt245245245, BC = DA = sqrt116116116. Таким образом, ABCD - ромб.
4.
Скалярное произведение векторов a и b равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними:
a b = |a| |b| cos150°150°150° = 6 3 cos150°150°150° = 18 cos150°150°150°
cos150°150°150° = -√3 / 2
a b = 18 −√3/2-√3 / 2−√3/2 = -9√3
Итак, скалярное произведение a * b равно -9√3.
5.
Два вектора a и b перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
a b = −5п</em>1-5п </em> 1−5п</em>1 + 4<em>−24 <em> -24<em>−2 + −3</em>−п-3 </em> -п−3</em>−п = -5п - 8 + 3п = -п - 8
-п - 8 = 0
-п = 8
п = -8
Таким образом, при значении п = -8 векторы a и b будут перпендикулярными.
6.
Угол между векторами a и b равен:
cosθθθ = a<em>ba <em> ba<em>b / ∣a∣</em>∣b∣|a| </em> |b|∣a∣</em>∣b∣ = (−4<em>−1)+(1</em>−1)+(1<em>0)(-4 <em> -1) + (1 </em> -1) + (1 <em> 0)(−4<em>−1)+(1</em>−1)+(1<em>0) / √((−4)2+12+12)</em>√((−1)2+(−1)2+02)√((-4)^2 + 1^2 + 1^2) </em> √((-1)^2 + (-1)^2 + 0^2)√((−4)2+12+12)</em>√((−1)2+(−1)2+02) = 4−1+04 - 1 + 04−1+0 / √18∗√2√18 * √2√18∗√2 = 3 / 3√23√23√2 = 1 / √2
cosθθθ = 1 / √2
θ = arccos1/√21 / √21/√2 θ ≈ 45°
Итак, угол между векторами a и b равен приблизительно 45°.