Для того чтобы доказать, что число n² + n + 9 не кратно 49 ни при каких натуральных n, достаточно рассмотреть выражение в модуле 49.

n² + n + 9 ≡ (n² + n + 9) mod 49

Далее рассмотрим выражение в квадратичном виде:

(n + 1)² + 8 ≡ (n + 1)² + 8(mod 49)

= n² + 2n + 1 + 8 ≡ n² + 2n + 9(mod 49)

= n² + n + 9

Теперь рассмотрим данное выражение в модуле 49:

(n² + n + 9) mod 49 = (n + 1)² + 8 mod 49

Так как выражение n + 1 возводится в квадрат, то оно обязательно будет иметь остаток равный 1 при делении на 49.

(n + 1)² + 8 mod 49 = 1 + 8 mod 49 = 9 mod 49 ≠ 0

Таким образом, мы доказали, что n² + n + 9 не кратно 49 ни при каких натуральных n.