Для начала разберемся с модулем: |x+3| = x+3, если x+3 >= 0
|x+3| = -(x+3), если x+3 < 0

Пусть x+3 >= 0
Тогда уравнение принимает вид:
x^2 + 6x + 7 = x + 3

Переносим все в одну сторону:
x^2 + 5x + 4 = 0
Факторизуем:
(x+4)(x+1) = 0

Отсюда получаем два корня:
x1 = -4
x2 = -1

Пусть x+3 < 0
Тогда уравнение принимает вид:
x^2 + 6x + 7 = -(x + 3)

x^2 + 6x + 7 = -x - 3

Приводим подобные и переносим в одну сторону:
x^2 + 7x + 10 = 0
Факторизуем:
(x+5)(x+2) = 0

Отсюда также получаем два корня:
x1 = -5
x2 = -2

Итак, уравнение имеет 4 корня:
x1 = -4
x2 = -1
x3 = -5
x4 = -2.