Данное уравнение представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, нужно:

Найти общее решение соответствующего однородного уравнения: у'' + 4у = 0.

Характеристическое уравнение:

r^2 + 4 = 0

r^2 = -4

r = ±2i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

уh = C1cos(2x) + C2sin(2x)

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.

y'' + 4y = 16x*cos(2x) + 8sin(2x)

Предположим, что частное решение имеет вид:

yp = Ax^2cos(2x) + Bxsin(2x)

где А и В - неизвестные коэффициенты.

Берем производные и подставляем в исходное уравнение, затем приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях:

yp'' + 4yp = 16x*cos(2x) + 8sin(2x)

(-8Axcos(2x) - 16Ax^2sin(2x) + 2Bxcos(2x) + 8Bsin(2x)) + 4(Ax^2cos(2x) + Bxsin(2x)) = 16xcos(2x) + 8sin(2x)

Сравниваем коэффициенты при cos(2x) и sin(2x):

-8A + 4A = 0
2B + 8B = 0

Получаем:

А = -1, B = -1

Итак, частное решение будет:

yp = -x^2cos(2x) - xsin(2x)

Общее решение дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y = уh + yp = C1cos(2x) + C2sin(2x) - x^2cos(2x) - xsin(2x)

Где C1 и C2 - произвольные постоянные.