Пусть $f,g: V \rightarrow W$ - два линейных отображения между векторными пространствами V и W.

Тогда для любых векторов $v_1, v_2 \in V$ и любого скаляра $\alpha$ имеем:

$(f+g)(\alpha v_1 + v_2) = f(\alpha v_1 + v_2) + g(\alpha v_1 + v_2)$

По свойствам линейных отображений:

$f(\alpha v_1 + v_2) = \alpha f(v_1) + f(v_2)$

$g(\alpha v_1 + v_2) = \alpha g(v_1) + g(v_2)$

Таким образом:

$(f+g)(\alpha v_1 + v_2) = \alpha f(v_1) + f(v_2) + \alpha g(v_1) + g(v_2)$

$(f+g)(\alpha v_1 + v_2) = \alpha(f(v_1) + g(v_1)) + (f(v_2) + g(v_2))$

$(f+g)(\alpha v_1 + v_2) = \alpha(f+g)(v_1) + (f+g)(v_2)$

Значит, сумма двух линейных отображений $f+g$ также является линейным отображением, что и требовалось доказать.