Для нахождения площади боковой поверхности конуса воспользуемся формулой: (S = \pirl), где r - радиус основания конуса, l - образование конуса.

Так как хорда видна из вершины под углом 90 градусов, то она является диаметром основания конуса. Поэтому радиус основания конуса (r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}).

Также из условия задачи известно, что хорда удалена от центра основания на (\sqrt{7}), то есть образование конуса (l = \sqrt{7}).

Теперь подставим известные значения в формулу площади боковой поверхности конуса:

(S = \pi 2\sqrt{2} \sqrt{7} = 2\sqrt{14}\pi = \sqrt{\frac{56\pi}{\pi}} = \sqrt{\frac{56}{\pi}} \approx \sqrt{17.8} \approx 4.22).

Итак, площадь боковой поверхности конуса будет (S = 4.22 \sqrt{\frac{15}{\pi}}).