Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим:

Для неотрицательных чисел a, b, c верно:
(a + b + c)/3 >= ∛abc

Преобразуем левую часть исходного неравенства:

(p+q)(q+r)(r+p) = 2(pqq + qrr + rpp + pqr)
≥ 2*(3√((pqr)^2)) = 6pqr

Теперь умножим обе части данного неравенства на 4:

4(p+q)(q+r)(r+p) ≥ 24pqr

Или эквивалентно:

(p+q)(q+r)(r+p) ≥ 6pqr + 8pqr = 14pqr

Таким образом, мы доказали что (p+q)(q+r)(r+p) >= 14pqr.

Заметим, что 14pqr > 8pqr, следовательно исходное неравенство (p+q)(q+r)(r+p) >= 8pqr верно.

Таким образом, при всех неотрицательных p,q,r выполняется данное неравенство.