Для начала найдем радиус вписанной сферы в основание пирамиды.

Пусть радиус сферы равен r, а высота боковой грани пирамиды равна h.

Так как пирамида правильная треугольная, то проекция высоты пирамиды на основание будет равна половине основания:
h = √3/2 * 2√3 = 3

Радиус вписанной сферы можно найти, используя формулу h^2 = r^2 + (r')^2, где r' - радиус вписанной окружности на основании пирамиды.

r^2 = h^2 - r'^2
r^2 = 3^2 - (2√3 / 2)^2
r^2 = 9 - 3
r^2 = 6
r = √6

Теперь найдем радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду:

r = √6 / 2
r = √6 / √4
r = √(6 / 4)
r = √(3/2)

Итак, радиус вписанной сферы равен √(3/2).