Для нахождения площади треугольника, заданного координатами вершин, можно воспользоваться формулой площади Герона.

Сначала найдем длины сторон треугольника. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

AB = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²),
BC = √((x₃ - x₂)² + (y₃ - y₂)² + (z₃ - z₂)²),
AC = √((x₃ - x₁)² + (y₃ - y₁)² + (z₃ - z₁)²).

AB = √((5 - 1)² + (-6 - (-1))² + (2 - 2)²) = √(4² + (-5)² + 0²) = √(16 + 25) = √41,
BC = √((1 - 5)² + (3 - (-6))² + (-1 - 2)²) = √((-4)² + 9² + (-3)²) = √(16 + 81 + 9) = √106,
AC = √((1 - 1)² + (3 - (-1))² + (-1 - 2)²) = √(0² + 4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Теперь найдем полупериметр треугольника:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (√41 + √106 + 5) / 2.

Наконец, найдем площадь треугольника через полупериметр и длины его сторон:

S = √(p (p - AB) (p - BC) (p - AC)) = √((√41 + √106 + 5) / 2 ((√41 + √106 + 5) / 2 - √41) ((√41 + √106 + 5) / 2 - √106) ((√41 + √106 + 5) / 2 - 5)).

Подставляя значения, получаем:

S = √((√41 + √106 + 5) / 2 ((√41 + √106 + 5) / 2 - √41) ((√41 + √106 + 5) / 2 - √106) ((√41 + √106 + 5) / 2 - 5)) ≈ √(21.589 0.589 16.089 1.411) ≈ √243.639 ≈ 15.62.

Ответ: Площадь треугольника, заданного координатами A(1, -1, 2), B(5, -6, 2) и C(1, 3, -1), равна примерно 15.62.