Математический анализ. Sup и inf. M - непустое множество. f(x) и g(x) - ограниченные функции.
Доказать:
1) supx∈M(f(x) + g(x)) ≤ supx∈M f(x) + supx∈M g(x).
2) supx∈M(f(x) + g(x)) ≥ supx∈M f(x) + infx∈M g(x)
3) supx∈M(f(x) − g(x)) ≤ supx∈M f(x) − infx∈M g(x)
Математический анализ. Sup и inf. M - непустое множество. f(x) и g(x) - ограниченные функции.
Доказать:
1) supx∈M(f(x) + g(x)) ≤ supx∈M f(x) + supx∈M g(x).
2) supx∈M(f(x) + g(x)) ≥ supx∈M f(x) + infx∈M g(x)
3) supx∈M(f(x) − g(x)) ≤ supx∈M f(x) − infx∈M g(x)
Доказать:
1) supx∈M(f(x) + g(x)) ≤ supx∈M f(x) + supx∈M g(x).
2) supx∈M(f(x) + g(x)) ≥ supx∈M f(x) + infx∈M g(x)
3) supx∈M(f(x) − g(x)) ≤ supx∈M f(x) − infx∈M g(x)
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Докажем данные неравенства по отдельности:
1) Для любых двух чисел a и b справедливо, что max(a, b) ≤ a + b. Применим это неравенство к функциям f(x) и g(x) на множестве M:
supx∈M(f(x) + g(x)) = sup{f(x) + g(x) | x ∈ M} ≤ sup{f(x) | x ∈ M} + sup{g(x) | x ∈ M} = supx∈M f(x) + supx∈M g(x).
Таким образом, доказано первое неравенство.
2) Аналогично для любых двух чисел a и b справедливо, что max(a, b) ≥ a + b. Применим это неравенство к функциям f(x) и g(x) на множестве M:
supx∈M(f(x) + g(x)) = sup{f(x) + g(x) | x ∈ M} ≥ sup{f(x) | x ∈ M} + inf{g(x) | x ∈ M} = supx∈M f(x) + infx∈M g(x).
Таким образом, доказано второе неравенство.
3) Аналогично можно доказать третье неравенство, заменив операцию сложения на вычитание в первом шаге:
supx∈M(f(x) - g(x)) = sup{f(x) - g(x) | x ∈ M} ≤ sup{f(x) | x ∈ M} - inf{g(x) | x ∈ M} = supx∈M f(x) - infx∈M g(x).
Таким образом, все три неравенства доказаны.