1) Из условия мы видим, что треугольник $\triangle AA{1}M$ и $\triangle BB{1}M$ являются прямоугольными. Используем теорему Пифагора для каждого из них:
$AM^{2} = AA{1}^{2} - A{1}M^{2} = 14^{2} - (\frac{14}{2})^{2} = 196 - 49 = 147$,
$BM^{2} = BB{1}^{2} - B{1}M^{2} = 8^{2} - (\frac{8}{2})^{2} = 64 - 16 = 48$.

Так как $AM = BM$, то $AM = \sqrt{147} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{49} = 7\sqrt{3}$.
Теперь, используем теорему Пифагора для $\triangle MM{1}M{1}$:
$MM{1}^{2}= AM^{2} - A{1}M^{2} = (7\sqrt{3})^{2} - (\frac{14}{2})^{2} = 147 - 49 = 98$,
Отсюда $MM_{1} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.

2) Так как $AB \perp AC \perp AD$, то $\triangle ABD$ - прямоугольный. Используем теорему Пифагора:
$BD^{2} = AB^{2} + AD^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$
$BD = \sqrt{289} = 17$.

3) Поскольку прямая $AM$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABCD$, она также
перпендикулярна прямой $BD$. Поскольку прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, а $AM$ перпендикулярна $CD$, то $AB \perp AM$.

4) Треугольник $AMC$ - прямоугольный, так как $\angle AMC = 90^{\circ}$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$.

5) Так как точка $M$ равноудалена от вершин треугольника, она находится в центре его окружности описанной. Радиус этой окружности равен $\frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$.
Также, так как точка $M$ удалена от плоскости треугольника на 6 см, а ее проекция на плоскость треугольника находится в центре описанной окружности, то $OM = 4\sqrt{3} - 6 = 4\sqrt{3} - 6$.
Так как $AM = 5$, то $AM^{2} = OM^{2} + OA^{2}$.
$5^{2} = (4\sqrt{3} - 6)^{2} + 12^{2}$,
$25 = 48 - 48\sqrt{3} + 36 + 144$,
$25 = 228 - 48\sqrt{3}$,
$48\sqrt{3} = 203$,
$\sqrt{3} = \frac{203}{48}$,
$\sqrt{3} = \frac{203 \cdot 48}{48 \cdot 48} = \frac{9744}{2304} = \frac{20}{3}$.

Таким образом, расстояние от точки $M$ до вершин треугольника равно $4\sqrt{3} - 6$, а $AM = 5$.