Для нахождения координат многочлена в указанном базисе необходимо решить систему уравнений, где каждое уравнение соответствует коэффициенту при соответствующем базисном элементе.

Итак, имеем многочлен ????(????) = ????(????0) + ????(????1)???? + ????(????2)????2 + ????(????3)????3

где для определения координат в базисе {1, (????−1), (????−1)^2, (????−1)^3} следует рассмотреть базисные элементы:

1 = 1
(????−1) = (????−1)
(????−1)^2 = (????^2 - 2???? + 1)
(????−1)^3 = (????^3 - 3????^2 + 3???? - 1)

Так как многочлен представлен в базисе, коэффициенты при базисных элементах будут равны координатам многочлена в этом базисе.

Следовательно, для нахождения координат многочлена в указанном базисе необходимо подставить базисные элементы в многочлен и записать коэффициенты при них:

????0 = ????(1) = ????
????1 = ????(????−1) = ????
????2 = ????(????^2 - 2???? + 1) = ????
????3 = ????(????^3 - 3????^2 + 3???? - 1) = ????

Таким образом, координаты многочлена в базисе 1, (????−1), (????−1)^2, (????−1)^3 будут равны коэффициентам при соответствующих базисных элементах:

(????, ????, ????, ????).