Для того, чтобы найти первообразную функции (f(x) = \sin^2\left(\frac{x}{2})), нужно воспользоваться методом замены переменной.

Обозначим (t = \frac{x}{2}), тогда (x = 2t) и (\frac{dx}{dt} = 2).

Теперь заменим (x) на (2t) в функции (f(x)):

[f(2t) = \sin^2(t)]

Теперь возьмем производную от функции (f(2t)) по переменной (t):

[\frac{df(2t)}{dt} = 2\sin(t)\cos(t)]

Интегрируем полученное выражение:

[\int 2\sin(t)\cos(t) dt = \sin^2(t) + C]

Подставляем обратно (t) вместо (\frac{x}{2}):

[\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = \sin^2(t) + C]

Теперь найдем значение константы (C), используя условие задачи о том, что график функции проходит через точку (A(\pi,2\pi)):

[\sin^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin^2(\pi) + C]

[1 = 0 + C]

[C = 1]

Итак, первообразная функции (f(x) = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right)) через точку (A(\pi,2\pi)) имеет вид:

[\int \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) dx = \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) + 1 + C]