Задача по геометрии В треугольнике DEX на стороне EX отметили точку P, а затем на отрезке PX – отметили точку M так, что угол PDM в два раза меньше угла EDX. На луче DE отметили точку O так, что углы OPD и DPX равны. На луче DX отметили точку K так, что равны углы KMD и DME. Докажите, что OP+KM=PM.
Задача по геометрии В треугольнике DEX на стороне EX отметили точку P, а затем на отрезке PX – отметили точку M так, что угол PDM в два раза меньше угла EDX. На луче DE отметили точку O так, что углы OPD и DPX равны. На луче DX отметили точку K так, что равны углы KMD и DME. Докажите, что OP+KM=PM.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Введем обозначения: угол EDX равен x, тогда угол PDM равен x/2, угол DPX равен x, угол OPD равен x, угол KMD равен 2x, угол DME равен 2x.
Так как угол EDX равен x, то угол DEX равен 180 - x, а угол PXD равен 180 - 3x.
Из условия угол OPD равен x, поэтому угол KPO равен x. Из уголов в треугольнике KMD и DME следует, что угол K = угол M. Так как угол KMD равен 2x и угол DME равен 2x, то угол M равен 2x.
Теперь рассмотрим треугольник KPM. Из условий мы знаем, что угол KPM равен 180 - 3x, угол K равен x и угол M равен 2x.
По теореме синусов в треугольнике KPM:
KM / sin(K) = PM / sin(M)
KM / sin(x) = PM / sin(2x)
KM = (PM * sin(x)) / sin(2x)
Теперь рассмотрим треугольник OPM. Из условий мы знаем, что угол OPD равен x, угол ODP равен x, угол DPM равен x/2, угол OPM равен 180 - 3x.
По теореме синусов в треугольнике OPM:
OP / sin(ODP) = PM / sin(DPM)
OP / sin(x) = PM / sin(x/2)
OP = (PM * sin(x)) / sin(x/2)
Таким образом, OP + KM = (PM sin(x)) / sin(x/2) + (PM sin(x)) / sin(2x) = PM * (sin(x) / sin(x/2) + sin(x) / sin(2x)) = PM
Таким образом, мы доказали, что OP + KM = PM.