Данная функция представляет собой уравнение для кубической параболы, которая имеет точку перегиба в точке $1,0$ и точки пересечения с осями координат в точках $1,0$, $2,0$ и $0,-2$.

Чтобы провести исследование данной функции, необходимо найти ее производные первого и второго порядков.

Найдем производную функции y по x:
y^3 = $x-1$^2$x-2$ 3y^2$dy/dx$ = 2$x-1$$x-2$ + $x-1$^2 + y^3$dy/dx$ dy/dx = $$2(x-1)(x-2)+(x-1{)}^2$$/$3y^2-y^3$ dy/dx = $$2x^2-6x+4+x^2-2x+1$$ / $$3y^2-y^3$$ dy/dx = $3x^2-8x+5$ / $$3y^2-y^3$$

Найдем вторую производную функции у:
d^2y / dx^2 = $$6x-8$$ / $$3y^2-y^3$$ - $$(3x^2-8x+5)\ast 6y(dy/dx)$$ / $$(3y^2-y^3{)}^2$$ d^2y / dx^2 = $$6x-8-6(3x^2-8x+5)(3x^2-8x+5)$$ / $$3y^2-y^3$$^2

Найдем точки экстремума:
Поставим d^2y / dx^2 = 0 и решим уравнение для поиска экстремумов.

Найдем точки перегиба:
Найдем y'''' и приравняем его к 0, затем найдем соответствующие значения х для определения точек перегиба.

Построим график функции и укажем на нем найденные точки экстремума и перегиба.

Таким образом, проведя вышеуказанные шаги, можно детально исследовать функцию y^3=$x-1$^2$x-2$ и определить ее характеристики.