Для начала выразим (1 + sinx)^(1/arcsinx) как экспоненту с помощью ln:

ln((1 + sinx)^(1/arcsinx)) = (1/arcsinx) * ln(1 + sinx)

Теперь найдем производную этого выражения и разложим его по Тейлору до 5-го члена:

f(x) = (1/arcsinx) ln(1 + sinx)
f'(x) = (1/arcsinx) (cosx / (1 + sinx))
f''(x) = -((1/arcsinx) (cosx / (1 + sinx))^2) + (1/arcsinx) (-sinx / (1 + sinx))
f'''(x) = ...

После нескольких вычислений получаем:

f(x) ≈ x - (x^2)/6 + (x^3)/48 - (x^4)/480 + (x^5)/5760 + o(x^5)

Итак, разложенный по Тейлору до 5-го члена результат равен:

(1 + sinx)^(1/arcsinx) ≈ 1 + x - (x^2)/6 + (x^3)/48 - (x^4)/480 + (x^5)/5760 + o(x^5)